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Newton-Verfahren und Regel von L'Hospital

Schüler

Tags: Newton-Verfahren, Regel von l'Hospital

Mr-Maths aktiv_icon

10:58 Uhr, 29.05.2012

Hallo zusammen,

ich hab ein paar Fragen.

Regel von l'Hospital: Nimmt man eigentlich nur, wenn man

\frac{0}{0},

unendlich/unendlich,

0 - 0,

0-unendlich, unendlich-unendlich etc. beim Grenzwert hat. Richtig?

Newton-Verfahren: Ich verstehe absolut wie dieses Verfahren funktioniert, aber da stellt sich die Frage: Wozu ist es gut? Ich meine ist sicher ein sehr sehr guter Weg eine Nullstelle zu berechnen. Was ist der Unterschied nun ob ich jetzt für

y

Null einsetze und umforme oder das Newton-Verfahren verwende? Newton-Verfahren hat doch mehr Nachteile wie so normal einsetzen oder?

Ich hab ne Funktion gegeben und daraus soll ich die Nullstelle(n) berechen mit dem Newtonverfahren. Mit diesen Verfahren nähert man sich immer einer Nullstelle an korrekt?

Was ist wenn es 2 oder 3 Nullstellen gibt? Was dann? Wie kann ich den die restlichen 2 bestimmen mit diesem Verfahren? Die Startpunkte so wählen das sie näher bei der Nullstelle sind/ist die man wissen will?

Nun eine Frage zu einen Bsp:
Ein Quader hat die Länge 6cm, Breite 4cm und Höhe 2cm. Jede Kante des Quaders soll nun um

x

cm verlängert werden.
Berechnen Sie die Verlängerung

x

mit dem Newton-Verfahren, sodass der vergrößerte Quader das Volumen

96

cm^3 hat. Geben Sie die Verlängerung millimetergenau an.

V (x) = (6 + x) \cdot (4 + x) \cdot (2 + x)

Warum hier mit Newton-Verfahren lösen?(weils in de Angabe steht

- \to

kein Grund^^)
Ich kann ja einfach für

V 96

einsetzen und für

x

auflösen.

Wenn ich jetzt das Newton-Verfahren anwende muss die Gleichung so aussehn:

0 = (6 + x) \cdot (4 + x) \cdot (2 + x) - 96

Wie kann man sich sicher sein, dass man die richtige Nullstelle erwischt?

Viel Text, aber ich möchte das wissen :-).

Danke im voraus!

mfg Mr-Maths

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Newton-Verfahren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Edddi aktiv_icon

11:08 Uhr, 29.05.2012

zu L'Hospital:

Diese Regel lässt sich nur auf unbest. Ausdrücke der Art

\frac{0}{0}

anwenden.

Allerdings kann man durch entspr. Umformungen auch noch andere Ausdrücke bedienen:

So wird aus

\frac{a}{b}

mit dem Ausdruck

\frac{\infty}{\infty}

eben

\frac{(\frac{1}{b})}{(\frac{1}{a})}

mit

\frac{0}{0}

Oder bei

a \cdot b

mit

0 \cdot \infty

kann man umformen zu

\frac{a}{(\frac{1}{b})}

was dann auch auf

\frac{0}{0}

führt.

usw.

;-)

Edddi aktiv_icon

11:12 Uhr, 29.05.2012

...nun grob zu Newton:

Es gibt unzählige Gleichungen, die nicht algebraisch auflösbar sind.

Beispiel:

y = x + sin (x) - 2

Nullstelle:

0 = x + sin (x) - 2

Dummerweise lässt sich diese Gleichug nicht nach

x

umstellen!

Mann kann erahnen (Sinusverlauf), das

x

etwas über 1 sein müsste. Dies wär dann ein guter Startwert um mittels Näherungsverfahren (sollte man sich grafich erläutern lassen) zur (fast genauen) Lösung zu kommen.

;-)

Edddi aktiv_icon

11:17 Uhr, 29.05.2012

... ν

zu deinem Beispiel:

Sicher wurde diese leichte Aufgabe (welche auch algebraisch lösbar ist und du dann auch noch zur Probe rechnen kannst) bewusst so gewählt!
Zum üben doch erstmal ideal.

Un da

x

nicht so groß sein kann, würd' ich hier gleich den Startwert 0 wählen.

;-)

Mr-Maths aktiv_icon

11:28 Uhr, 29.05.2012

Ah ok danke dir :-D).

Ich hab hier ein Bsp:
Ein Schüler legt dreimal jeweils zu Jahresbeginn 2000€ bei 4%iger Verzinsung auf eine Sparbuch. Seine eltern legen zugleich mit dem Schüler jeweils 500€ dazu.

a .)

Wie groß ist die Spareinlage am Ende des dritten Jahres?

b .)

Mit welchem Zinnsatz müssten die alleinigen Einzahlungen des Schülers verzinst werden, um den gleichen Endbetrag nach 3 Jahren zu erreichen?

Ich weiß nicht... irgendwie schaff ich es nie eine richtige Gleichung aus solchen Textaufgaben zu erstellen.

Ich versuchs mal:

a .)

y (x) = 6500 x + (6500 \cdot 0,004) x

Naja für

x 2

einsetzen und ausrechnen...

x

...Jahre

y

...Gesamtbetrag

Aber hier kann ich doch auch normal ausrechnen... Warum packen sie das ins Thema: Newton-Verfahren... Die sollen mal ordentliches Bsp reintun^^.

b .)

y (x) = 6500 \cdot 3 + (6500 \cdot x) \cdot 3

y=Gesamtbetrag von oben.

Einfach auf

x

umformen^^. Oder ja Newton-Verfahren anwenden...

Mh stimmt das so?

PS: Hättest du/ihr vielleicht ein paar Newton-Verfahren Textaufgaben so als Übung, oder Übungen zum Integrieren(Textaufgaben, Unbestimmtes, Bestimmtes Integral)? Wäre geil :-).

Edddi aktiv_icon

11:52 Uhr, 29.05.2012

. .

. welch reicher Schüler!

Im ersten Fall werden jährlich

2500

angelegt. Macht nach 3 Jahren:

K_{1} = 2500 \cdot (1 + p)

K_{2} = (2500 + K_{1}) \cdot (1 + p) = 2500 \cdot (1 + p) + 2500 \cdot {(1 + p)}^{2} = 2500 \cdot ((1 + p) + {(1 + p)}^{2})

und somit nach dem 3. Jahr:

K_{3} = 2500 \cdot ((1 + p) + {(1 + p)}^{2} + {(1 + p)}^{3})

Muss er diese Summe allein mit einem höheren Zinsatz

p_{2}

zusammensparen, so ergibt dies:

2000 \cdot ((1 + p_{2}) + {(1 + p_{2})}^{2} + {(1 + p_{2})}^{3}) = K_{3}

...da der Prozentsatz über

0,04

liegen muss, würd' ich hier erstmal den Startwert

0,04

wählen!

;-)

Mr-Maths aktiv_icon

12:29 Uhr, 29.05.2012

Danke sehr nett^^.

Hier diese Aufgabe finde ich eigentlich voll einfach, aber es kommt das falsche
Ergebnis raus

: (

Bsp:
Ein waagrecht gelagereter zylinderförmiger Öltank hat eine Länge von

2,00 m

und einen Durchmesser von

1,20 m

. Für eine Ölstandsanzeige sollen die Füllhöhen

h

bestimmt werden, wenn die Tankinhalte um jeweils

500 l

zunnehmen.

500l=0,5m³

V=r²*pi*2

Und man soll ja die Höhe berechnen, wie viel man für

500 l

braucht oder?

500000cm³=r²*pi*h

Ja das dann auf 0 umformen und Newton verwenden. Endergebnis: 44,209cm
Lösung: 33cm, 55cm, 76cm, 99cm

Was hab ich an der Aufgabe falsch verstanden?

Edddi aktiv_icon

13:56 Uhr, 29.05.2012

. .

. du sollst ALLE Höhen angeben, in

500 L

-Schritten.

Da dein Zylinder ein Fassungsvermögen von

π \cdot r^{2} \cdot h = 2262 L

hat, solltest du also 4 Höhen berechnen, nämlich für

500, 1000, 1500

und

2000 L

.

Weil aber dei Zylinder LIEGT, musst du schon anders rangehen. Bestimme also das Volumen über Kreissegment

\cdot

Höhe!

Fläche des Kreissegmentes:

A = r^{2} \cdot a r c c o s (1 - \frac{h}{r}) - (r - h) \cdot \sqrt{2 \cdot r \cdot h - h^{2}}

Volumen ist dann:

V (h) = A \cdot h = h \cdot r^{2} \cdot a r c c o s (1 - \frac{h}{r}) - h \cdot (r - h) \cdot \sqrt{2 \cdot r \cdot h - h^{2}}

...und da man hier nicht nach

r

umformen kann, bleibt dir nur noch Newton.

;-)

Mr-Maths aktiv_icon

14:17 Uhr, 29.05.2012

Danke dir!

Ohhh ich sollte genauer lesen... liegend jaa :-).

Eine halbkugelfärmige Schale mit dem Radius r=10cm wird mit Wasser gefüllt. Wie hoch ist der Wasserstand in der Schale, wenn

50 %

des Gesamtvolumens geingefüllt werden?

Also ich hab die Lösung vor mir liegen.

Volumen der Halbkugel: V=2*pi*r³/3

\to

wir suchen das

r

von der Hälfte des Volumen der Halbkugel

\to

V=pi*r³/3

Warum kann ich nicht diese Formel verwenden: 0=pi*r³/3 - ergebnis von Volumen
sonder muss das tun: Volumenformel für Halbkugel = Kugelsegment.

Ja ich hab gesehn das das nicht geht mit der 1. Formel, aber der Grund ist?

Edddi aktiv_icon

14:23 Uhr, 29.05.2012

...weil du über diesen (falschen) Weg den Radius einer Halbkugel mit hälftigem Volumen bestimmen würdest.
Dafür reicht dann aber auch schon das Wissen um

V ~ r^{3} \to r_{n} = \frac{r}{\sqrt[3]{2}}

Da du aber mit dem halben Volumen KEINE Halbkugel, sondern ein Kugelsegment, ausfüllst musst du auch dafür eine entsprechende Volumenformel nutzen!

Wenn du den Inhalt der Halbkgel in einen Zylinder schüttest, verwendest du ja auch die Volumenformel des Zylinders.

;-)

Mr-Maths aktiv_icon

15:17 Uhr, 29.05.2012

Ah ok jetzt verstehe^^ ich - schon langsam komme ich rein in den Textaufgabenkram...

Zum Beispiel mit dem liegenden Zylinder:
Wo hast du die Formel ausgegraben?^^ Die steht nicht mal in meine Formelheft/buch.

Kann ich nicht die Volumsformel für eine Kugelschicht verwenden? Die äußeren Radien sind halt gleich...

\to V = π \cdot \frac{h}{6} \cdot

(3*r²+3*r²+h²)

Edddi aktiv_icon

15:52 Uhr, 29.05.2012

. .

. bei deinem liegenden Zylinder hast du ja nur unten Wasser. Wenn du also frontal von der Kreisfläche raufschaust ist der Füllguerschnitt der eines Kreissegmentes.
Dessen Fläche multipliziert mit der Länge des liegenden Zylinders (alle Querschnittsflächen entlang der Länge sind ja gleich) ergibt dann das gesuchte Volumen.

;-)

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