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Normal, Nullstellen und Scheitelpunktsform
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Algebra
 
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Hallo, Ich bin zufällig auf dieses Forum gestossen und es kommt mir doch ganz gegelegen. Ich war leider in letzter Zeit ziemlich krank und hab somit ne ganze reihe an unterrichtsstoff verpasst. So zb. auch die im Titel genannten Themen. Und zwar sind meine Fragen generell wie ich vorgehen muss wenn ich von einer zur anderen Form umwandeln will. Kann ich zb von jeder Form in eine andere umstellen und es gibt da "Formelartige" vorgehensweisen. Mein Freund hat mir mal 3 bsp zu jeder Form gegeben und ich hoffe ich habe die Korrekt beschriftet ;-) Normalform: f(x) = 1/2x^2-2x+2 Scheitelsform: g(x) = -(x+2)^2+4 Nullstellenform: h(x) = 1/8*(x-3)*(x+5) Ich würde mich freuen wenn sich jemand die Zeit nehmen könnte mir die obigen Aufgaben Schritt für Schritt in die möglichen Arten umzuformen(Am besten mit kurzer Erklärung was gemacht wurde), so dass ich nach meiner eigenen recherche vielleicht etwas schlauer bin ;-) Vielen Dank! |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) |
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NEIN. - Das hat er nicht gut gemacht. Genaugenommen hat er an den Nullstellenformen herummanipuliert. Die verschiedenen Formen sind nicht gleichwertig *urrgh* Also (etwa einfacher): (1) Nehme die Nullstellenform f(x) = (x-1)*(x-3) und stelle fest, dass zwischen den Nullstellen x=1 oder x= 3 IN DER MITTE der Scheitelpunkt (x=2) liegen muss... (2) Wir multiplizieren aus... f(x) = x² -4x + 3 = (x-2)² -4+3 = (x-2)² -1. und stellen fest, dass der Wert am kleinsten ist, wenn x=2 (Quadrat wird =0) und zwar mit dem Wert y=-1. Damit haben wir die untere Beule = Scheitelpunkt. - x-weise liegt der Scheitelpunkt immer zwischen 2 Nullstellen, wenn es die gibt. Falls die Nummer begriffen wurde, machen wir keine grossen Sprünge... (neue Aufgabe) f(x)= x² - 4 Die Nullstellenform ist f(x) = (x-2)*(x+2) und die Scheitelpunktsform liegt schon auf dem Tisch... f(x)= x² - 4 = (x-0)² - 4 - Zwischen den beiden Nullstellen +-2 liegt x=0 mit dem Scheitelpunktswert y=4 ... gesehen? Das sind alles Beispiele, wo vor dem x² eine unsichtbare EINS steht. Probiere erstmal obige Beispiele durch. - Falls Dir der Sinn danach steht, frage nach solchen mit anderem Krümmungsfaktor... |
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Hallo, von der "Scheitelsform" und der "Nullstellenform" auf die "Normalform" kommt man durch reines ausrechnen. Anhand der Beispiele ist das: f(x) = -(x+2)^2 + 4 f(x) = -(x^2 + 4*x + 4) + 4 f(x) = -x^2 - 4*x - 4 + 4 f(x) = -x^2 - 4*x bzw. f(x) = 1/8*(x-3)*(x+5) f(x) = 1/8*(x^2 + 5*x - 3*x - 15) f(x) = 1/8*(x^2 + 2*x - 15) f(x) = 1/8*x^2 + 1/4*x - 15/8 zwischengeschobenes PS an steele: Wie kommst Du darauf, daß der Freund an der Nullstellenform herummanipuliert hat? Der Freund hat für jede Form ein Beispiel angegeben! Nirgendwo steht, daß diese Beipiele die selbe Funktion ergeben! Genaues und gründliches Lesen ist aber bekanntlich nicht Deine Stärke! Schönen guten Abend. Weiter an mthiel: Jetzt kennst Du den Weg, um aus den beiden letzten Formen, die erste Form zu machen. Jetzt genügen Wege, um aus der "Normalform" die anderen Formen machen zu können. Die "Normalform" ist: f(x) = a*x^2 + b*x + c Die "Scheitelsform" ist immer darstellbar und wird durch die quadratische Ergänzung gewonnen: f(x) = a*(x^2 + b/a*x) + c f(x) = a*(x^2 + 2*b/(2*a)*x + (b/(2*a))^2 - (b/(2*a))^2) + c f(x) = a*(x^2 + 2*b/(2*a)*x + (b/(2*a))^2) - a*b^2/(4*a^2) + c f(x) = a*(x + b/(2*a))^2 - b^2/(4*a) + c f(x) = a*(x + b/(2*a))^2 + (c - b^2/(4*a)) Die "Nullstellenform" ist allerdings nicht immer möglich, denn sie bedarf (wie der Name schon sagt) der Existenz von Nullstellen. Diese ermittelt man z.B. nach der p-q-Formel: f(x) = a*(x^2 + b/a*x + c/a) ; p=b/a und q=c/a; Lösungen: -p/2+-sqrt(p^2/4-q) f(x) = a*(x - (-b/2*a - sqrt(b^2/(4*a^2) - c/a)))*(x - (-b/2*a + sqrt(b^2/(4*a^2) - c/a))) unter der Voraussetzung (vorher zu prüfen!!!), daß b^2/(4*a^2) - c/a >= 0 ist! So, nun kannst Du von jeder Form auf jede andere Form kommen: Ist die "Normalform gegeben, ermittelst Du die anderen Formen (soweit möglich!) nach obigem Muster, ist eine andere Form gegeben, ermittelst Du zunächst die "Normalform" und daraus die andere gesuchte form (wieder: soweit möglich!). PS: Diese allgemeimeingültige Umrechnung ist immer richtig, im konkreten Falle einer Aufgabe aber unter Umständen umständlich, weil die Zahlen umständliche Brüche in den Zwischenergebnissen ergeben können, mit denen weiterzurechnen fehleranfällig ist. Du solltest also nicht diese Formeln versuchen zu lernen, sondern das dahinter stehende Verfahren (quadratische Ergänzung; p-q- oder Mitternachtsformel) versuchen zu beherrschen! |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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