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Nullstellen des Polynoms in Restklassenkörper

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Sonstiges

Tags: Restklassenkörper, Sonstig

Amnesia aktiv_icon

10:30 Uhr, 07.06.2017

hey,

Ich habe hier eine Aufgabe mit Lösungen, allerdings verstehe ich den Lösungsweg nicht ganz hoffe dass mir jemand helfen kann.

Finden Sie in dem Restklassenkörper

ℤ 163

Nullstellen des Polynoms

p (X) = X^{2} + 127 * X + 99

in den Lösungen steht das man hier die pq Formel verwenden kann allerdings wird die pq Formel mit den Inversen beschrieben, verstehe nicht genau wieso das so gemacht wird, vielleicht könnte mir einer die Aufgabe einmal erklären.

pq Formel in den Lösungen:

- 127 * 2^{- 1} + - 2^{- 1} * \sqrt{12 7^{2} - 4 * 99}

könnte ich diese auch so Verwenden?

- 127 * 2^{- 1} + - \sqrt{12 7^{2} * 2^{- 1} - 99}

also ich verstehe schon wie diese Formel zustande kommt, möchte nur ein bisschen mehr Hintergrundwissen haben.

Danach wird ja das Inverse gesucht, macht man dass deswegen weil ja

\frac{- 127}{2}

keine Restklasse ist?
was wäre wenn ich

\frac{- 126}{2}

hätte, könnte ich das so berechnen oder bräuchte ich auch das inverse?

und die letzte frage:

Wie berechne ich später die Wurzel aus 85

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

10:44 Uhr, 07.06.2017

"also ich verstehe schon wie diese Formel zustande kommt"

Das ist doch die ganz normale p-q-Formel.

2^{- 1}

ist dasselbe wie

\frac{1}{2}

.

"Danach wird ja das Inverse gesucht, macht man dass deswegen weil ja keine Restklasse ist?"

Die Inverse wird nur deshalb gesucht, weil sie im Restklassenring nicht offensichtlich ist, im Gegensatz zu "normalen Zahlen". Bzw. nicht immer offensichtlich.

"was wäre wenn ich hätte, könnte ich das so berechnen oder bräuchte ich auch das inverse?"

Du wirst überrascht sein, aber streng genommen brauchst Du immer Inverse, wenn Du teilst. Denn z.B.

\frac{4}{2}

ist dasseble wie

4 \cdot 2^{- 1}

- auch wenn es um gewöhnliche Zahlen geht.

DrBoogie aktiv_icon

10:50 Uhr, 07.06.2017

- 126 / 2

kann man zwar direkt berechnen, das Ergebnis

- 63

liegt nicht im "kanonischen" Bereich der Werte Modulo 163, das sind Werte von 0 bis 162.
Also müsstest Du noch 163 dazuaddieren, was zu

- 126 / 2 = 100

mod

163

führt.

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