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Nullstellen durch Substitution
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 21:05 Uhr, 09.02.2006  |
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Hi. Ich habe folgendes Problem. f(x)=(x^2+x)^3-4(x^2+x)+4 dann hab ich Substituiert mit u= (x^2+x) f(u)= u^3-4u+4 Jetzt meine Frage.... wie soll ich weitermachen?? Mir fehlt jegliche Idee? Kann man die funtion f(x) überhaupt noch weiter vereinfachen? Was hab ich übersehen? Für eure Hilfe wär ich super Dankbar. Grüße Zwelch |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) | |
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| Was ist eigendlich die Aufgabenstellung? Du könntest f(u) 0 setzen und dann mit dem wert weiterrechnen, wenn du x rausbekommen möchtest. | |
anonymous 21:38 Uhr, 09.02.2006 |
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Oh Sorry. Naja, die Aufgabenstellung ist Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) Aber wenn ich die u³-4u+4=0 setze dann wäre die Lösung (sagt der Taschenrechner 1,3.... usw) Jedoch weiß ich den Weg nicht, der ohne Taschenrechner zu machen wäre, da dieser Taschenrechner in der FOS verboten ist und auch zu Prüfungsaufgaben nicht zugelassen. Im Unterricht haben wir dann einfach eine Tabelle gemacht, dort Grob den Wertebereich bestimmt, dann, wo der Vorzeichenwechsel war den bereich verfeinert bis wir , auf 4 Stellen genau den Wert hatten. Kann ich jetzt einfach mit u³-4u+4 die Tabelle erstellen? aber u wäre ja eigentlich immer noch (x²+x), oder stört das garnicht? |
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anonymous 21:55 Uhr, 09.02.2006 |
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F(x) = (x³+x)²-2 (x³+x)+1 Substitution: u = (x³+x) f(u) = u²-2u+1 = (u-1)² Nullstellen: 0 = (u-1)² => u =1 x³+x = 1 x³+x-1 = 0 g(x) = x³+x-1 so, dass is die aufgabe aus der schule. mit g(x) haben wir dann die Nullstellen eben Anhand einer Tabelle "erraten". |
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Hallo. Bist du sicher, dass du die Aufgabe richtig aufgeschrieben hast? Wenn ja, ergibt sich folgendes: f(x) = (x^2 + x)^3 - 4(x^2 + x) + 4 u := x^2 + x f(u) = u^3 - 4u + 4 Wenn man jetzt die (ganzzzahligen) Nullstellen von f(u) erraten will, müssen diese Teiler des Absolutglieds sein, in dem Fall also von 4 (-4, -2, -1, 1, 2, 4). In diesem Fall hat man aber Pech, es gibt keine ganzzahligen Lösungen. Zur Berechnung der Nullstellen siehe www.wikipedia.de/wiki/cardanische_Formel. Da diese Gleichung dritten Grades in u bereits in der reduzierten Form vorliegt, kann man nun die Diskriminante berechnen. Diese ist grösser als 0. Dies bedeutet es gibt nur eine reelle Nullstelle. Jetzt wählt man die entsprechende Formel für diesen Fall aus, setzt ein und fasst zusammen. Man erhält u = - (2 - 2*sqrt(33)/9)^(1/3) - (2*sqrt(33)/9 + 2)^(1/3) oder gerundet u = -2.382975... Mit diesem Wert substituiert man zurück, also x^2 + x + (2 - 2*sqrt(33)/9)^(1/3) + (2*sqrt(33)/9 + 2)^(1/3) = 0. Die Parabel dazu ist nach oben offen und hat ihren Scheitel bei xs = 0,5 und ys > 0. Daher hat sie keine (reellen) Nullstellen. Als Folge daraus hat auch die Ausgangsgleichung f(x) = (x^2 + x)^3 - 4(x^2 + x) + 4 keine (reelle) Nullstelle. Betrachtungen am Graphen von f bestätigen dies. ... also nicht gerade eine sehr lohnende Aufgabe. ;-) Gruss, Kosekans |
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anonymous 22:24 Uhr, 10.02.2006 |
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Erstmal tausend Dank für die Lösung!!!! Hab jetzt den Graphen gezeichnet... Komm jetzt auch logisch dahinter, warum es keine Nullstellen gibt. Danke nochmal für die Hilfe. Zwelle |
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