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Nullstellen eines Polynoms Bestimmen p(z)=z³+1

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Nullstell

 
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Kamaniac

Kamaniac aktiv_icon

17:17 Uhr, 31.07.2020

Antworten

p(z)=z³+1
Guten Tag liebe Mathe Profis,
Undzwar habe ich ein Problem beim bestimmen der Nullstellen im obigen Polynom.

Könnte mir jemand bitte Schritt für Schritt erklären, wie man diese bestimmt.
Würde mir sehr helfen. (Ich lerne gerade für eine Klausur, falls der Anschein auftritt dass ich mir Hausaufgaben vorrechnen lassen will :-D))

Gerne würde ich dies auch gemeinsam durchgehen.
Vielen Dank schonmal und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:21 Uhr, 31.07.2020

Antworten
Eine Nullstelle sieht man sofort: -1. Deshalb kann man z3+1 durch z+1 teilen. Das Ergebnis ist z2-z+1, die Nullstellen davon kann man einfach mit der p-q-Formel berechnen.
Kamaniac

Kamaniac aktiv_icon

17:34 Uhr, 31.07.2020

Antworten
Hi, erstmal Danke für die Schnelle antwort. So hätte ich sie auch ausgerechnet

Aber reicht das Um diese Nullstellen dann in der Komplexenzahlenebene darzustellen?

Habe eben die Lösung, von meinem Prof bekommen. Aber ich verstehe wirklich nicht, wie ich darauf komme...
Fehlen mir evtl Regeln bzw. allgemeine Formeln?


Screenshot (4)
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:20 Uhr, 31.07.2020

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Er nutzt die "polare" Darstellung der komplexen Zahlen: z=reiφ.
In dieser Darstellung hast du z3=r3ei3φ und wegen -1=1eiπ bekommst r=1 und 3φ{π+2πk} - das mit 2πk kommt daher, dass e2iπ=1.
Damit folgt, dass π/3, π/3+2π/3 und π/3+4π/3 die 3 Winkel für die drei Nullstellen sind.

Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

11:00 Uhr, 01.08.2020

Antworten
.
z3=-1...... ... z=?

den Lösungsweg kannst du dann auch so darstellen:

die Polarformdarstellung von -1 ist -1=|-1|e(π+2kπ)i.... mit k

also
z3=1e(π+2kπ)i

dann sehen die drei Lösungen so aus :

zk=1e(π3+23kπ)i....... für k=0,1,2

z0=12+123i
z1=-1
z2=12-123i

es sind drei Eckpunkte eines dem Kreis |z|=1 inbeschriebenen regelmässigen Dreiecks.

ok?
.
Frage beantwortet
Kamaniac

Kamaniac aktiv_icon

14:50 Uhr, 01.08.2020

Antworten
Vielen Dank nochmal für alle Antworten!

Habe es jetzt verstanden, hab mir nochmal die Polarform angeguckt.
Finds iwie schwer, dass direkt zu erkennen das ich das ganze in die Polarform setzen muss..

Aber jetzt wo ichs mir nochmal angeguckt ist es verständlich. Aber das direkt auf anhieb zu sehen fällt mir iwie schwer..
Trotzdem vielen Dank für eure Hilfe, hat mir auf jedenfall was gebracht!