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Nullstellen eines Polynoms Bestimmen p(z)=z³+1

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Nullstell

Kamaniac aktiv_icon

17:17 Uhr, 31.07.2020

p(z)=z³+1
Guten Tag liebe Mathe Profis,
Undzwar habe ich ein Problem beim bestimmen der Nullstellen im obigen Polynom.

Könnte mir jemand bitte Schritt für Schritt erklären, wie man diese bestimmt.
Würde mir sehr helfen. (Ich lerne gerade für eine Klausur, falls der Anschein auftritt dass ich mir Hausaufgaben vorrechnen lassen will :-D))

Gerne würde ich dies auch gemeinsam durchgehen.
Vielen Dank schonmal und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

17:21 Uhr, 31.07.2020

Eine Nullstelle sieht man sofort: -1. Deshalb kann man

z^{3} + 1

durch

z + 1

teilen. Das Ergebnis ist

z^{2} - z + 1

, die Nullstellen davon kann man einfach mit der p-q-Formel berechnen.

Kamaniac aktiv_icon

17:34 Uhr, 31.07.2020

Hi, erstmal Danke für die Schnelle antwort. So hätte ich sie auch ausgerechnet

Aber reicht das Um diese Nullstellen dann in der Komplexenzahlenebene darzustellen?

Habe eben die Lösung, von meinem Prof bekommen. Aber ich verstehe wirklich nicht, wie ich darauf komme...
Fehlen mir evtl Regeln bzw. allgemeine Formeln?

DrBoogie aktiv_icon

19:20 Uhr, 31.07.2020

Er nutzt die "polare" Darstellung der komplexen Zahlen:

z = r e^{i φ}

.
In dieser Darstellung hast du

z^{3} = r^{3} e^{i 3 φ}

und wegen

- 1 = 1 \cdot e^{i π}

bekommst

r = 1

und

3 φ \in {π + 2 π k}

- das mit

2 π k

kommt daher, dass

e^{2 i π} = 1

.
Damit folgt, dass

π / 3

π / 3 + 2 π / 3

und

π / 3 + 4 π / 3

die 3 Winkel für die drei Nullstellen sind.

rundblick aktiv_icon

11:00 Uhr, 01.08.2020

z^{3} = - 1 ... . .

\Rightarrow . .

z =

?

den Lösungsweg kannst du dann auch so darstellen:

\to

die Polarformdarstellung von

- 1

ist

\to - 1 = | - 1 | \cdot e^{(π + 2 k \cdot π) \cdot i} ...

. mit

k \in ℤ

also

\to z^{3} = 1 \cdot e^{(π + 2 k \cdot π) \cdot i}

dann sehen die drei Lösungen so aus :

z_{k} = 1 \cdot e^{(\frac{π}{3} + \frac{2}{3} k \cdot π) \cdot i} ... ...

. für

\to k = 0, 1, 2 \Rightarrow

z_{0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot i

z_{1} = - 1

z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot i

es sind drei Eckpunkte eines dem Kreis

| z | = 1

inbeschriebenen regelmässigen Dreiecks.

ok?
.

Kamaniac aktiv_icon

14:50 Uhr, 01.08.2020

Vielen Dank nochmal für alle Antworten!

Habe es jetzt verstanden, hab mir nochmal die Polarform angeguckt.
Finds iwie schwer, dass direkt zu erkennen das ich das ganze in die Polarform setzen muss..

Aber jetzt wo ichs mir nochmal angeguckt ist es verständlich. Aber das direkt auf anhieb zu sehen fällt mir iwie schwer..
Trotzdem vielen Dank für eure Hilfe, hat mir auf jedenfall was gebracht!

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