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Nullstellen eines Polynoms in Fp[x]
Universität / Fachhochschule
Algebraische Zahlentheorie
Tags: Algebraische Zahlentheorie, Körper, Nullstell, polynom, Polynomring
 
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Hallo liebes Forum ich habe eine Aufgabe, wobei meine Lösung mir viel zu banal vorkommt, als dass sie richtig sein könnte: Sei Element aus für prim. Gib alle Nullstellen von an. Explizit wurde uns nichts zur Berechnung von Nullstellen in Körpern gesagt, außer dass ein Polynom mit grad(f)=n auch maximal Nullstellen hat, von daher wollte ich ganz normal vorgehen und wenn ein Koeffizient überschreitet modulo rechnen um im Körper zu bleiben. durch ausklammern von folgt Ein Produkt ist null wenn einer der Faktoren 0 ist ergo NST#1 die (p-1)te Wurzel aus 1 ziehen die(p-1)te Wurzel aus 1 Da alle Primzahlen ungerade Zahlen sein müssen ist definitiv gerade, weshalb die Wurzel ein positives und negatives Ergebnis hat. Da man die Wurzel von 1 zieht kann man auch sagen, dass das Ergebnis sein muss, da egal welche Wurzel man von 1 nimmt das Ergebnis 1 ist. Sprich die nächsten 2 Nullstellen wären NST#2 NST#3 jedoch muss man bei der letzten Nullstelle noch rechnen, damit die Nullstelle in liegt NST#3 Ich weiß, dass das jetzt nicht super schön aufgeschrieben ist, aber ich hoffe man versteht was ich meine. Das kommt mir zu leicht vor, als dass das eine korrekte und/oder komplette Lösung sein kann, wenn ich es mit den anderen Aufgaben des selben Blattes vergleiche. Ich würd daher gerne ein wenig gewissheit haben :-) MfG Patrick Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"Da alle Primzahlen ungerade Zahlen sein müssen" Das stimmt nicht so ganz. Kennst du übrigens den kleinen Satz von Fermat? Der scheint mir hier von Bedeutung zu sein. |
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Hey, danke für deine Antwort. Die Definition einer Primzahl ist doch "eine natürliche Zahl, die gößer als 1 und nur durch 1 und sich selbst teilbar ist". Daraus folgt ja, dass alle Primzahlen zwangsweise ungerade sein müssen denn wäre eine Primzahl gerade wäre sie ja automatisch durch 2 teilbar was im Gegensatz zur Definition steht, oder nicht ? Ausnahme bildet hier als einzige logischerweise die aber für alle gilt es ja Der kleine Fermat wäre ja bzw wenn a kein Vielfaches von ist, ich sehe nur nicht so ganz, wie mir der kleine Fermat hier nun weiter helfen kann. Auf Grund deine Aussage gehe ich aber davon aus, dass ich bei meiner original Lösung (wie angenommen) irgendwo zu leicht/falsch denke, könntest du (oder jemand) mir auch sagen an welcher Stelle ich mir meine Lösung zerschieße, das wäre sicher auch hilfreich :-D) |
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Hallo, ersetzte doch mal dein im kleinen Fermat durch ein und vergleiche mit dem Polynom. Mfg Michael |
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Hallo Dann bleibt natürlich da stehen was natürlich gut für das Polynom aussieht Und laut der Regel Aber das würde ja heißen das Polynom hätte gar keine Nullstellen |
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Hallo, ok, und jetzt noch mal richtig nachdenken! Mfg Michael |
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Die Nullstellen des Polynoms liegen also immer bei Wo genau ist aber mein Denkfehler in meiner Ausgangslösung gewesen ? |
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Hallo, uff. Also, gemäß kleinem Fermat gilt für alle : Das heißt aber (Rechnen in Körpern): Mit anderen Worten: Für alle verschwindet das Polynom . Mfg Michael |
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