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Nullstellen komplexe Zahlen

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Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

MathMP

09:12 Uhr, 11.10.2019

Hallo, und zwar weiß ich nicht ganz weiter beim Bestimmen der Nullstellen von diesem komplexen Polynom:

z^{6} - 7 z^{3} - 8 = 0

Mein Lösungsansatz: SUBSTITUTION

z^{3} = u

\to u^{2} - 7 u - 8 = 0

mit abc Formel gelöst bekommtman als Ergebnis:

u 1 = 8

und

u 2 = - 1

Jetzt Rücksubstitution:

8 = z 1^{3}

z 1 = 2

- 1 = z 2^{3}

z 2 = - 1

aber wie geht es jetzt weiter, das kann ja noch nicht die Lösung sein??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Bummerang

09:26 Uhr, 11.10.2019

Hallo,

das ist auch nicht die Lösung!

z^{3} = 8

\Rightarrow z_{1} = 2 \cdot (cos (\frac{0}{3} \cdot 2 \cdot π) + i \cdot sin (\frac{0}{3} \cdot 2 \cdot π))

z_{2} = 2 \cdot (cos (\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot π) + i \cdot sin (\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot π))

z_{3} = 2 \cdot (cos (\frac{2}{3} \cdot 2 \cdot π) + i \cdot sin (\frac{2}{3} \cdot 2 \cdot π))

z^{3} = - 1

\Rightarrow z_{4} = 1 \cdot (cos (\frac{π}{3} + \frac{0}{3} \cdot 2 \cdot π) + i \cdot sin (\frac{π}{3} + \frac{0}{3} \cdot 2 \cdot π))

z_{5} = 1 \cdot (cos (\frac{π}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot π) + i \cdot sin (\frac{π}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot π))

z_{6} = 1 \cdot (cos (\frac{π}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot π) + i \cdot sin (\frac{π}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot π))

MathMP

09:47 Uhr, 11.10.2019

Danke für deine Antwort.

könntest du mir bitte erläutern, was du da gemacht hast. Wie kommt man auf das?

Atlantik aktiv_icon

10:24 Uhr, 11.10.2019

Alternative:

1 .) z^{3} = 8

z_{1} = 2

Polynomdivision:

(z^{3} - 8) : (z - 2) = z^{2} + 2 z + 4

z^{2} + 2 z = - 4

z^{2} + 2 z + 1 = - 4 + 1

{(z + 1)}^{2} = - 3 = 3 i^{2}

z_{2} = - 1 + i \cdot \sqrt{3}

z_{3} = - 1 - i \cdot \sqrt{3}

2 .) z^{3} = - 1

z_{1} = - 1

Polynomdivision:

(z^{3} + 1) : (z + 1) = z^{2} - z + 1

z^{2} - 1 \cdot z = - 1

z^{2} - 1 \cdot z + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}

{(z - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4} \cdot i^{2}

Weg über das 3.Binom:

{(z - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3}{4} \cdot i^{2} = 0

[(z - \frac{1}{2}) + \frac{i}{2} \sqrt{3}] \cdot [(z - \frac{1}{2}) - \frac{i}{2} \sqrt{3}] = 0

z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \sqrt{3}

z_{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \sqrt{3}

mfG

Atlantik

michaL aktiv_icon

11:00 Uhr, 11.10.2019

Hallo,

MathMP wollte wissen:
>> könntest du mir bitte erläutern, was du da gemacht hast.

Atlantik erläuterte Polynomdivision und quadratische Ergänzung.

Das erklärt aber cos und sin nur unzureichend.

Viel naheliegender ist es, bei der Gleichung

z^{3} = - 1

die -1 in Polardarstellung zu schreiben:

- 1 = e^{i π}

.

Dritte Wurzeln:

z_{k} = e^{i \frac{π + 2 k π}{3}}

mit

k = 0, 1, 2

.
Wer die Formel von de Moivre drauf hat, der weiß, dass also gilt:

z_{k} = \cos (\frac{π + 2 k π}{3}) + i \cdot \sin (\frac{π + 2 k π}{3})

Wer sie nicht drauf hat, der muss sich fragen lassen, wie das kommen konnte.

Behandelt man

z^{3} = 8

, so muss man bedenken, dass der Betrag nicht mehr 1 ist (wie oben). Man muss dann auch den Betrag radizieren.

Merke: Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen gehen (aus meiner Sicht) am einfachsten über Polarkoordinaten.

Außerdem wollte MathMP wissen:
>> Wie kommt man auf das?

Nun, dafür studiert man doch. Entweder ist man wirklich sehr schlau und findest das allein. Für uns andere gilt: Wir lernen es, indem wir die Vorlesung/Übung besuchen, das Skript durcharbeiten, ein Buch lesen oder im Netz nachschauen.

Mfg Michael

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