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Nullstellen von trigonometrischen Funktionen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Tags: Differentiation, Funktionalanalysis

supaboy aktiv_icon

21:02 Uhr, 07.09.2015

Hallo,

gibt es eine allgemeine Methode zur Bestimmung der Nullstellen von trigonometrischen Funktionen?

Ich weiß, dass

z . B

. die Bestimmung der Nullstellen einer einfachen

sin (x)

Funktion folgendermaßen zu bewerkstelligen ist:

f (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) = sin (b \cdot x + c) = k \cdot π,

da die Nullstellen immer periodisch auftreten gilt diese obige Gleichung und kann demnach umgestellt werden:

x = \frac{(k \cdot π) - c}{b}

Man erkennt, dass alles was man innerhalb der Klammer in der Sinusfunktion schreibt, also da wo das

x

drinne steht die Formel gut anzuwenden ist.

Aber wie zum Teufel berechnet man nun die Nullstellen einer beliebigen Sinusfunktion? Was wäre wenn die Funktion beispielsweise

f (x) = x + sin (x)

oder

x^{2} - sin (x^{2} + ln (9))

oder

x^{3} \cdot sin (\frac{x}{10})

lauten würde? Nirgends steht sowas in den Lehrbüchern, sondern immer wieder nur der einfache Fall aber in den Klausuren werden ja nur die "schweren" Fälle abgefragt. :-P)
Übrigens ich studiere kein Mathematik, sondern muss notgedrungen den Schein in diesem Modul an meiner Uni erwerben :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

21:28 Uhr, 07.09.2015

.
"..notgedrungen den Schein "

\to

also auch wenn du dich nur zum Schein für Mathematik interessierst:

1. "f(x)=0 .. ⇔.. f(x)=sin(b⋅x+c)=k⋅π "

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . \to

mache dir klar, dass das FALSCH ist

2. "Aber wie zum Teufel berechnet man nun die Nullstellen einer beliebigen Sinusfunktion?
Was wäre wenn die Funktion beispielsweise

f (x) = x + sin (x)

\to f (x) = x + sin (x)

ist nichtmal beim Teufel eine Sinusfunktion
sondern eine Verkettung von linearer Funktion - und Sinusfunktion
und bei diesem einfachen Beispiel siehst du schon von Weitem, dass
die einzige Nullstelle bei

x = 0

herumliegt..
(warum wohl ? und zeichne dir doch mal das Bild dieser Überlagerung)

nebenbei:
deine notierten anderen "schweren" Fälle sind genauso teuflisch trivial

..

supaboy aktiv_icon

23:43 Uhr, 07.09.2015

ich sag ja, bin kein Mathematiker ;-)

1.
Ok, Eigentlich sieht eine Sinusfunktion ja so aus:

f (x) = a \cdot sin (b \cdot x + c) + d

Wenn ich die Nullstelle davon bestimmen möchte ist der Vorgang ja so:

a \cdot sin (b \cdot x + c) + d = 0 | - d

\Leftrightarrow sin (b \cdot x + c) = - d | : a

\Leftrightarrow sin (b \cdot x + c) = - \frac{d}{a} \Rightarrow {sin}^{- 1} (- \frac{d}{a}) = y

Jetzt muss ich allerdings

y

bestimmen bevor ich weiter machen kann:

{sin}^{- 1} (- \frac{d}{a}) = y,

weil für die erste Nullstelle

x 1

gilt:

x 1 = \frac{y - c}{b}

Die zweite Nullstelle

x 2

ergibt sich durch:

x 2 = - \frac{2 \cdot c}{b} + \frac{π}{b} - x 1

Nun kann ich sagen allgemein jeweils für

x 1 \cdot k

und

x 2 \cdot k

sagen:

x 1 + k \cdot \frac{2 \cdot π}{b}

x 2 + k \cdot \frac{2 \cdot π}{b}

Wenn die Funktion allerdings nur in der Form

f (x) = a \cdot sin (b \cdot x + c)

auftritt dann spare ich mir die den komplizierten Weg und kann direkt so rechnen:

a \cdot sin (b \cdot x + c) = 0 | : a

\Leftrightarrow sin (b \cdot x + c) = 0

b \cdot x + c = k \cdot π | - c

\Leftrightarrow b \cdot x = k \cdot π - c | : b

\Leftrightarrow x = \frac{k \cdot π - c}{b}

2.
Das waren jetzt Beispiele, die ich mir mal schnelll eben aus dem Kopf gedacht habe. Hätte ja sein können, dass es eine allgemeine Methode zur Bestimmung der Nullstellen von x-beliebigen Funktionen existiert wo immer ein

sin (x)

enthalten ist.

Was wäre wenn ich

- sin (x)

hätte? Kann ich die Formel einfach bedenkenlos verwenden nur mit dem unterschied das sich ein - davor habe? Werden die

+

oder - Vorzeichen innerhalb der Klammer beeinflusst?

Wie meine ich das? Nunja die allgemeine Form lautet ja

a \cdot sin (b \cdot x + c),

darauf aufbauend würde ich sagen:

a \cdot - sin (b \cdot x + c) = 0 | : a

\Leftrightarrow - sin (b \cdot x + c) = 0

Für die Nullstellen gilt somit:

- (b \cdot x + c) = k \cdot π

- b \cdot - x - c = k \cdot π | + c

\Leftrightarrow b \cdot x = k \cdot π + c | : - b

\Leftrightarrow - x = \frac{k \cdot π - c}{- b} | : - 1

\Leftrightarrow x = \frac{k \cdot π - c}{b}

-Wolfgang-

00:05 Uhr, 08.09.2015

Hallo,

a*sin(bx+c)+d

= 0 | - d | : a

sin(bx+c)

= - \frac{d}{a}

bx+c

= {sin}^{- 1} (- \frac{d}{a}) +

k*PI

| - c | : b

x = \frac{1}{b} \cdot [{sin}^{- 1} (- \frac{d}{a}) - c + k \cdot

]

mit

k

aus

Z

W

supaboy aktiv_icon

00:18 Uhr, 08.09.2015

Danke, das ist ja eine geniale Zusammenfassung dessen, was ich niedergeschrieben habe! Wieso steht sowas nirgends in Lehrbüchern?!

Christian- aktiv_icon

00:20 Uhr, 08.09.2015

Weil Möchtegern Mathematiker nicht helfen wollen, sondern sie haben das Ziel, dass du dich quälst. ;-)

Sehr wenige gibt es, die ihr Wissen

100 %

mit dir teilen und auch wollen, dass du es leicht hast in Mathe!

Schöne Grüße

-Wolfgang-

00:28 Uhr, 08.09.2015

@Christian: böser Junge! :-)
Hier im Board gibt es nur Fragesteller und Helfer, keine Möchtegernmathematiker!

@supaboy: Sonst wäre das Board ja überflüssig! :-)
(So "genial" war es nun wirklich nicht - sondern mathematische Handwerksarbeit.)

VLG Wolfgang

supaboy aktiv_icon

00:42 Uhr, 08.09.2015

naja doch schon! denn solche vereinfachung bzw veranschaulichungen erwarte ich von einem lehrbuch, denn die zeit ist schnelllebig geworden und es bleibt nicht mehr so viel zeit sich mit den sachen so intensiv auseinanderzusetzen wie das erwünscht wird.
ich bin ja dankbar, dass es solche foren gibt, andernfalls würde man total auflaufen.
somit werde ich noch mehr darin bestärkt die hochschuldidaktik und verkaufsargumente von lehrbüchern anzuzweifeln wenn man auf zusätzliche hilfsdienstleistungen angewiesen ist.

-Wolfgang-

00:45 Uhr, 08.09.2015

Den Glauben an die Hochschuldidaktik(er) habe ich schon vor seeehr langer Zeit verloren.

W

Ma-Ma aktiv_icon

00:53 Uhr, 08.09.2015

"Sehr wenige gibt es, die ihr Wissen

100 %

mit dir teilen und auch wollen, dass du es leicht hast in Mathe!"

@Christian: Es ist sehr wichtig, dass man das "math. Wissen" auch selbst erarbeitet, kann gelegentlich auch Quälerei sein

. .

. aber: dann hat man es auch begriffen und es sitzt für alle Ewigkeit

. .

.

Wenn Du später mal Kinder hast

. .

. erzähle Ihnen tausendmal, der Ofen ist heiß

. .

. nein, sie müssen es selbst ausprobieren, aber dann haben sie es "begriffen"

. .

.
Ähnliche Beispiele gibt es viele

. .

.
LG Ma-Ma

-Wolfgang-

01:12 Uhr, 08.09.2015

Korrektur von Post

0 : 05

Uhr:

Sorry, mein "genialer Post" hat leider Fehler:

Es muss ab der vierten Zeile heißen

bx+c

= {sin}^{- 1} (- \frac{d}{a}) +

k*2*PI oder bx+c = PI

- {sin}^{- 1} (- \frac{d}{a}) +

k*2*PI

x = \frac{1}{b} \cdot [{sin}^{- 1} (- \frac{d}{a}) - c +

k*2*PI

]

oder

x = \frac{1}{b} \cdot

[

- {sin}^{- 1} (- \frac{d}{a}) - c +

k*2*PI

]

W

supaboy aktiv_icon

01:20 Uhr, 08.09.2015

das meinte ich mit "die zeit ist schnelllebig geworden". man hat eben bei der fülle von lehrplänen gar keine zeit auf die sachen selbst zu kommen.

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