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Nullstellensuche bei verknüpfter e-funktion

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Funktionen

Tags: Funktion, Nullstellenberechnung

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13:10 Uhr, 08.09.2020

Hallo,

ich würde für die folgende Funktion gerne analytisch die Nullstellen bestimmen:

f (x) = 1 - x - x * e^{- 2 x}

Ich bin etwas ratlos, wie ich x alleine auf eine Seite kriegen soll.
Mein Versuch war folgender:

0 = 1 - x - x * e^{- 2 x} ∣ - 1

- 1 = - x - x * e^{- 2 x} ∣ + x

- 1 + x = - x * e^{- 2 x} ∣ : (- x)

\frac{1 - x}{x} = e^{- 2 x} ∣ l n

l n (1 - x) - l n (x) = - 2 x ∣ : (- 2)

- \frac{1}{2} l n (1 - x) + \frac{1}{2} l n (x) = x

Es wäre super, wenn ihr ein paar Ideen beisteuern könnt.

Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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13:19 Uhr, 08.09.2020

Das geht hier analytisch nicht, weil

x

linear, als Faktor und Potenz
zugleich auftritt.
Verwende ein Näherungsverfahren!

www.wolframalpha.com/input/?i=0%3D1-x-x*e%5E%28-2x%29

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13:54 Uhr, 08.09.2020

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Was wäre denn ein gutes Näherungsverfahren?

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13:59 Uhr, 08.09.2020

Newton

z . B

rundblick aktiv_icon

14:17 Uhr, 08.09.2020

.
noch ein kleiner Tipp:

wenn du nur einen schnellen Überblick über die ungefähre Lage möglicher Nullstellen haben willst:

verwende ein graphisches Verfahren
also: lass dir die Funktion graphisch darstellen, dann siehst du, dass bei deinem Beispiel
die Nullstelle

x = 0

zwischen

x = 0

und

x = 1

liegt..
und wenn du dir nun die Ausschnitte darstellen lässt, dann siehst du zB:

x_{0} = 0,843 . .

.

nebenbei:
mit welcher Genauigkeit sollst du die Nullstelle denn angeben ?

\to . .

.
und: warum hat dein Beispiel nur diese eine Nullstelle?

\to . .

.

.

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14:17 Uhr, 08.09.2020

Super, danke!

Und es gibt nicht vielleicht einen Trick, um die Ergebnismenge einzuschränken?

rundblick aktiv_icon

14:19 Uhr, 08.09.2020

.
"...einzuschränken? "

\to

siehe oben..
mit Verbesserung des Druckfehlers

\to (

"...die Nullstelle

x_{0}

zwischen

x = 0

und

x = 1

liegt.." )

und: beantwortest du noch die "nebenbei"-Fragen ??
.

penrose aktiv_icon

14:29 Uhr, 08.09.2020

Hallo Rundblick,

meine Antwort bezog sich auf Supporter.

Vielen Dank für deine Tipps! Was genau meinst du mit "Warum hat dein Beispiel nur eine Nullstelle?"

Eigentlich sieht meine Gleichung so aus:

f (x) = q - l x - k u x e^{- 2 a c \frac{x}{u ²}}

Ich habe die Parameter q, l, k, u, a und c erstmal auf 1 gesetzt um zu sehen, welche Form ich für die Nullstellen erhalte. Am Ende brauche ich jedoch eine Formel für die Nullstellen, die von allen Parametern abhängt, um untersuchen zu können, bei welchen Parameterwerten Nullstellen hinzu kommen oder zerstört werden.

rundblick aktiv_icon

14:50 Uhr, 08.09.2020

f (x) = q - l x - k u x \cdot e^{- 2 a c \cdot \frac{x}{u^{2}}}

" Am Ende brauche ich jedoch eine Formel für die Nullstellen, die von allen Parametern abhängt"

- an welches Ende hast du da gedacht??

- wer hat dich auf diese Idee gebracht, dass du eine solche Formel

b r a u c h s t

?

- und ob es so eine allgemeine Formel geben wird kannst du vielleicht schon abschätzen?

"bei welchen Parameterwerten Nullstellen hinzu kommen oder zerstört werden."

\to

dazu kannst du dir sicher schon ein paar erfolgreiche Gedanken machen? (ohne Formel!)

.

penrose aktiv_icon

15:14 Uhr, 08.09.2020

"wer hat dich auf diese Idee gebracht, dass du eine solche Formel brauchst?
und ob es eine allgemeine Formel geben wird kannst du vielleicht schon abschätzen?"

Vielleicht brauch ich so eine Formel gar nicht. Das war mein erster Ansatz. Abschätzen, ob es überhaupt eine gibt, kann ich das im Moment noch nicht... wahrscheinlich eher nicht?

"bei welchen Parameterwerten Nullstellen hinzu kommen oder zerstört werden.

→ dazu kannst du dir sicher schon ein paar erfolgreiche Gedanken machen (ohne Formel!)"

- wenn

a, c = 0

, dann gibt es nur eine Nullstelle

x = \frac{q}{l + k u}

- wenn

k = 0

, gibt es nur eine Nullstelle

x = \frac{q}{l}

- wenn

q = 0

, gibt es nur eine Nullstelle

x = 0

, weil die e-Fkt. immer positiv ist

Wie kann ich denn an die nicht-trivialen Lsgn. heran gehen?

rundblick aktiv_icon

15:49 Uhr, 08.09.2020

f (x) = q - x \cdot [l + k u \cdot e^{- 2 a c \cdot \frac{x}{u^{2}}}]

"- wenn

q = 0,

gibt es ?nur eine? Nullstelle x=0,.."

denk da nochmal nach ..
Beispiel: was ist, wenn zB

\to l

und

(k u)

verschiedene Vorzeichen haben ? .. usw .. usw

"Wie kann ich denn an die nicht-trivialen Lsgn. heran gehen?"

- was meinst du denn damit? (?die nicht-trivialen Lsgn.?)

-

penrose aktiv_icon

15:53 Uhr, 08.09.2020

ich meinte die nicht-null Lösungen.

aber ich glaube so langsam komm ich rein...

rundblick aktiv_icon

16:09 Uhr, 08.09.2020

.
"ich meinte die nicht-null Lösungen."

wie das? .. du suchst doch nur die Nullstellen?.. also

f (x)

ist dafür doch immer Null..

und falls du die x-Werte zu diesen Nullstellen meinst

\to

da hast du doch bei deinen
drei Angeboten oben doch nur einmal explizit

x = 0 .

. und in diesem Fall könnte es zusätzlich
ja noch weitere Nu8llstellen geben? (siehe oben)..

.

penrose aktiv_icon

16:36 Uhr, 08.09.2020

wenn

q = 0

, dann ist die zweite Nullstelle

x = - \frac{u ²}{2 a c} * l n (\frac{- l}{k u})

und die existiert nur, wenn

l

und

k u

ungleiche Vorzeichen haben.

Ich habe mich oben auf die Parameter bezogen. Also wenn hier

q \neq 0

ist.

Grafisch seh ich, dass sich die Parabel in diesem Fall entlang der y-Achse verschiebt.
Ich weiß aber nicht, wie ich das zeigen kann.

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