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Numerische Betrachtung quadratischer Gleichungen

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Tags: Numerik, Quadratische Gleichung

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16:04 Uhr, 03.05.2012

Hallo zusammen,
ich habe folgende (eigentlich wohl recht simple Frage):
"Zu lösen sei die quadratische Gleichung

x^{2} - 2 p \cdot x - q = 0

.
für

p = 2

und

q = 0.005

in vier- und fünfstelliger Gleitkommaarithmetik im Dezimalsystem. Dabei
sollen folgende Algorithmen untersucht werden:

a) d = p^{2} + q; x_{1} = p + \sqrt{d}; x_{2} = p - \sqrt{d}

(p-q-Formel)

b) d = p^{2} + q; x_{1} = p + \sqrt{d}; x_{2} = - \frac{q}{x_{1}}

(Vietascher Wurzelsatz)

Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der exakten Lösung und erklären Sie die unterschiedlichen
Resultate. Was passiert im Fall

p < 0

und wie sollte in diesem Fall der Algorithmus aus

b)

abgeändert werden?"

Ich bin mir nun nicht ganz sicher mit dme was ich zu tun habe (wie gesagt, ich weiss, dass es eigentlich recht trivial ist): Ich habe folgendes gemacht:
Bei 4-stelliger Gleitkommaarithmetik:

p = 20000 \cdot 10^{- 4}

q = 5 \cdot 10^{- 4}

Stimmt das so?
dann:

d = 4.0005 \cdot 10^{- 4}

\sqrt{d} = 20001 \cdot 10^{- 4}

mit

a) :

x_{1} = 40001 \cdot 10^{- 4}

x_{2} = - 1 \cdot 10^{- 4}

mit

b) :

x_{1} = 40001 \cdot 10^{- 4}

x_{2} = - 1.2499 \cdot 10^{- 4}

Bei 5-stelliger Gleitkommaarithmetik:

p = 200000 \cdot 10^{- 5}

q = 50 \cdot 10^{- 5}

Stimmt das so?

d = 400050 \cdot 10^{- 5}

\sqrt{d} = 200012 \cdot 10^{- 5}

mit

a) :

x_{1} = 400012 \cdot 10^{- 5}

x_{2} = - 12 \cdot 10^{- 5}

mit

b)

x_{1} = 400012 \cdot 10^{- 5}

x_{2} = - 12.4996 \cdot 10^{- 5}

Stimmt das denn soweit (bin mir da echt ziemlich unsicher)?
Wodurch sich die unterschiedlichen Resultate erklären lassen, hätte ich gesagt, dadurch, dass man mit

a)

einmal weniger rundet als mit

b),

aber ist das Ergebnis von

b)

nicht eigentlich exakter? Und was passiert im falle

p < 0

?

Ich hoffe mir kann da jemand helfen
Vielen Dank im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Lösen durch Umstellen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)

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