Oberflächenberechnung

Der Radius der Kugel sei anfangs ${\displaystyle {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$

Dann ist ihre Oberfläche   ${\displaystyle 4\cdot {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1^2\cdot \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$   und ihr Volumen ist   ${\displaystyle \frac{4}{3}\cdot {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1^3\cdot \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Nun vergrößern wir den Radius auf ${\displaystyle {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$

Dann ist ihre Oberfläche   ${\displaystyle 4\cdot {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2^2\cdot \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$   und ihr Volumen ist   ${\displaystyle \frac{4}{3}\cdot {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2^3\cdot \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Die neue Oberfläche ist das Doppelte der alten:

${\displaystyle 4\cdot {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2^2\cdot \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\cdot 4\cdot {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1^2\cdot \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

vereinfachen liefert

${\displaystyle {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2^2=2\cdot {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1^2}$

${\displaystyle {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=\sqrt{2}\cdot {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1,41421\cdot {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$

Also muss ${\displaystyle {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$  um 41,421% größer sein als r1.

Die Aufgabe mit dem Volumen geht analog (man braucht die dritte Wurzel).

GRUSS, DK2ZA

${\displaystyle {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1^2={\left({\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\right)}^2}$

GRUSS, DK2ZA