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Operatorgleichung mit Exponentialfunktionen

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angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Matrizenrechnung

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16:06 Uhr, 11.03.2008

Hallo, ich habe folgendes Gleichung für C mit nicht kommutierenden Operatoren(Matrizen) A,B:

$e^{ϵ A} e^{ϵ B} e^{ϵ A} = e^{ϵ C}$

Die Lösung soll man angeblich durch mehrfache anwendung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel bekommen:

Seien X,Y Operatoren eines Banachraumes dann gilt

$e^{X} Y e^{- X} = \sum_{k = 0}^{inf} \frac{1}{m!} [A, B]_{m}$
mit
$[A, B]_{m} = [A, [A, B]]_{m - 1}$ und $[A, B]_{0} = B$

wobei $[A, B] = A B - B A$ der Kommutator von A und B ist.

Leider kann ich das aber nicht nachvollziehen, habe aber die Lösung für C schon in einem Artikel gefunden:

$C = ϵ (A + 2 B) - \frac{ϵ^{3}}{6} [A, [B, A]] + \frac{ϵ^{3}}{6} [B, [A, B]] + O (ϵ^{5})$

Mein Vorgehensweise:

$e^{ϵ A} e^{ϵ B} e^{ϵ A} = e^{ϵ A} e^{ϵ B} e^{- ϵ A} e^{2 ϵ A}$
mittels BCH-Formel auf
$(\sum_{m = 0} \frac{1}{m!} ϵ^{m + 1} [A, B]_{m}) e^{2 ϵ A}$

Tja, und dann fällt mir nichts mehr ein, wie ich das tun kann...Hilfe?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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