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Parallelogramm - Schnittpunkt bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Analytische Geometrie

anika aktiv_icon

10:40 Uhr, 23.02.2013

Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der Aufgabe: Vom Parallelogramm ABCD sind die Eckpunkte

A (3 | 1 | - 2), B (5 | - 3 | 4),

und

C (1 | - 5 | 8)

gegeben.

a)

Bestimmen Sie die Koordinaten von D. Das habe ich schon lösen können,

D

ist

(- 1 | - 1 | 2)

b) M_{1}

ist Mittelpunkt der Seite AB,

M_{2}

der Mittelpunkt der Seite BC.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden

M_{1} C

und

M_{2} D

.
Ich sitze nun schon viel zu lange an dieser Aufgabe und es kommt einfach nichts raus.
Meinen (wahrscheinlich falschen) Rechenweg kann ich trotzdem mal aufschreiben:
Zuerst habe ich den Mittelpunkt der Seite AB bestimmt:

(\frac{1}{2}) \cdot (\vec{A} + \vec{B})

. Also

\frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 \\ - 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

für die Seite BC gilt das Gleiche, heraus kommt

\vec{M} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

Dann habe ich zwei Geradengleichungen aufgestelt, die ich gleichsetzen möchte:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

h : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) | - k \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) - k \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) | - (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

(\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 6 \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) - k \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

2 r - 4 k = - 2

r + k = - 4

- 2 r - k = 6

das lässt sich nicht lösen

: (

.
Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

rundblick aktiv_icon

11:13 Uhr, 23.02.2013

D

und

M_{1} (4, - 1,1)

hast du richtig ..

aber dann..

\to

überprüfe bitte zuerst nochmal die Koordinaten von

M_{2}

(Mitte von BC)

und dann: der Richtungsvektor der Geraden

g = M_{1} C

ist der Vektor, der von

M_{1}

nach

C

zeigt (also nicht der Ortsvektor von

M_{1}

wie du schreibst..)

usw, usw

. .

.

versuch es also neu

\to . .

anika aktiv_icon

11:33 Uhr, 23.02.2013

Stimmt! Da habe ich gar nicht dran gedacht!
Jetzt habe ich auch endlich den shcnittpunkt heraus:

(\begin{matrix} 2,2 \\ - 3,4 \\ 5,2 \end{matrix})

oder?
Danke für die Hilfe!

sm1kb aktiv_icon

12:33 Uhr, 23.02.2013

Hallo anika,
a) ist richtig, weil

\vec{D} = \vec{C} - \vec{A B}

ist.
b)

\vec{M_{1}}

ist auch richtig, aber

\vec{M_{2}}

ist falsch.

\vec{M_{2}} = \frac{1}{2} (\vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{array}{rcl} 5 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) + (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{array})] = (\begin{array}{rcl} 3 \\ - 4 \\ 6 \end{array})

g : \vec{x} = \vec{C} + k \cdot \vec{C M_{1}} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{rcl} 3 \\ 4 \\ - 7 \end{array})

h : \vec{x} = \vec{D} + r \cdot \vec{D M_{2}} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{rcl} 4 \\ - 3 \\ 4 \end{array})

Schnittpunkt der Geraden durch Gleichsetzen ergibt das Gleichungssystem:

1 + 3 k = - 1 + 4 r

- 5 + 4 k = - 1 - 3 r

8 - 7 k = 2 + 4 r

Die Lösung der ersten beiden Gleichungen ist:

k = 0.4

und

r = 0.8

Die Probe mit der dritten Gleichung bestätigt die Lösung. Der Schnittpunkt

\vec{S}

ist also:

\vec{S} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{array}) + 0.4 \cdot (\begin{array}{rcl} 3 \\ 4 \\ - 7 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 2.2 \\ - 3.4 \\ 5.2 \end{array})

Gruß von sm1kb

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