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Parallelogramm - Schnittpunkt bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Analytische Geometrie

anika aktiv_icon

10:40 Uhr, 23.02.2013

Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der Aufgabe: Vom Parallelogramm ABCD sind die Eckpunkte $A (3 | 1 | - 2), B (5 | - 3 | 4),$ und $C (1 | - 5 | 8)$ gegeben.
$a)$ Bestimmen Sie die Koordinaten von D. Das habe ich schon lösen können, $D$ ist $(- 1 | - 1 | 2)$ .
$b) M_{1}$ ist Mittelpunkt der Seite AB, $M_{2}$ der Mittelpunkt der Seite BC.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $M_{1} C$ und $M_{2} D$ .
Ich sitze nun schon viel zu lange an dieser Aufgabe und es kommt einfach nichts raus.
Meinen (wahrscheinlich falschen) Rechenweg kann ich trotzdem mal aufschreiben:
Zuerst habe ich den Mittelpunkt der Seite AB bestimmt: $(\frac{1}{2}) \cdot (\vec{A} + \vec{B})$ . Also $\frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 5 \\ - 3 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$
für die Seite BC gilt das Gleiche, heraus kommt $\vec{M} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})$
Dann habe ich zwei Geradengleichungen aufgestelt, die ich gleichsetzen möchte:
$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$
$h : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})$

$(\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) | - k \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) - k \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) | - (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} - 2 \\ - 4 \\ 6 \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) - k \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$
$2 r - 4 k = - 2$
$r + k = - 4$
$- 2 r - k = 6$
das lässt sich nicht lösen $: ($ .
Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

rundblick aktiv_icon

11:13 Uhr, 23.02.2013

$D$ und $M_{1} (4, - 1,1)$ hast du richtig ..

aber dann.. $\to$

überprüfe bitte zuerst nochmal die Koordinaten von $M_{2}$ (Mitte von BC)

und dann: der Richtungsvektor der Geraden $g = M_{1} C$ ist der Vektor, der von
$M_{1}$ nach $C$ zeigt (also nicht der Ortsvektor von $M_{1}$ wie du schreibst..)

usw, usw $. .$ .

versuch es also neu $\to . .$ .

anika aktiv_icon

11:33 Uhr, 23.02.2013

Stimmt! Da habe ich gar nicht dran gedacht!
Jetzt habe ich auch endlich den shcnittpunkt heraus: $(\begin{matrix} 2,2 \\ - 3,4 \\ 5,2 \end{matrix})$ oder?
Danke für die Hilfe!

sm1kb aktiv_icon

12:33 Uhr, 23.02.2013

Hallo anika,
a) ist richtig, weil $\vec{D} = \vec{C} - \vec{A B}$ ist.
b) $\vec{M_{1}}$ ist auch richtig, aber $\vec{M_{2}}$ ist falsch.
$\vec{M_{2}} = \frac{1}{2} (\vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{array}{rcl} 5 \\ - 3 \\ 4 \end{array}) + (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{array})] = (\begin{array}{rcl} 3 \\ - 4 \\ 6 \end{array})$
$g : \vec{x} = \vec{C} + k \cdot \vec{C M_{1}} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{rcl} 3 \\ 4 \\ - 7 \end{array})$
$h : \vec{x} = \vec{D} + r \cdot \vec{D M_{2}} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{rcl} 4 \\ - 3 \\ 4 \end{array})$
Schnittpunkt der Geraden durch Gleichsetzen ergibt das Gleichungssystem:
$1 + 3 k = - 1 + 4 r$
$- 5 + 4 k = - 1 - 3 r$
$8 - 7 k = 2 + 4 r$
Die Lösung der ersten beiden Gleichungen ist: $k = 0.4$ und $r = 0.8$
Die Probe mit der dritten Gleichung bestätigt die Lösung. Der Schnittpunkt $\vec{S}$ ist also:
$\vec{S} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 5 \\ 8 \end{array}) + 0.4 \cdot (\begin{array}{rcl} 3 \\ 4 \\ - 7 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 2.2 \\ - 3.4 \\ 5.2 \end{array})$
Gruß von sm1kb

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