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Parallelogramm Vektor Fläche

Schüler

Tags: Aufgabe

Christian- aktiv_icon

16:12 Uhr, 05.04.2016

Moin Leute.

Es ist ein Parallelogramm gegeben mit zwei Diagonalen.Ziel ist es den Flächeninhalt zu bestimmen.

Die Diagonalen sind den Vektoren

\vec{p} = 3 \vec{m} - \vec{n}

und

\vec{q} = \vec{m} - 5 \vec{n}

zugeschrieben

,wenn

| \vec{m} | = | \vec{n} | = 1

sind.
Und Winkel

(m, n) = 45

- - - -

Mein Ansatz

Der Flächeninhalt wäre doch dann

p \cdot q = A

oder?

Dann heißt es doch

(3 m - n) \cdot (m \cdot (- 5 n)) = A

Ich weiß halt nicht welche formel hier wichtig sind. Ich bräuchte Formeln mit dem ich das berechnen kann. Danke , wer helfen kann

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

ledum aktiv_icon

16:36 Uhr, 05.04.2016

Hallo
zeichne mal irgendein ein Parallelogramm mit 2 Diagonalen. ist die Fläche

\vec{p} \cdot \vec{q}

? oder

| p | \cdot | q |

oder noch was?
was verstehst du unter dem Produkt von 2 Vektoren?
also erst mal zeichnen und dann ne Formel und nicht einfach drauflosraten. Mathe ist kein Ratespiel, auch keine Formelsammlung!
Wenn ich schreibe

A = \frac{1}{2} \cdot | \vec{p} \times \vec{q} |

was hast du davon, oder warum solltest du es glauben?
Gruß ledum

Ginso aktiv_icon

16:51 Uhr, 05.04.2016

vorsicht:
1. Der Flächeninhalt ist

\frac{1}{2} ∣ p ∣ \cdot ∣ q ∣

2. Wie kommst du auf

m \cdot (- 5 n)

? Du musst überhaupt auf deine Notation achten. was meinst du mit

p \cdot q

? das sind beides Vektoren, was du wahrscheinlich meinst, ist ihr Betrag.
3.

∣ 3 m - n ∣ \neq 3 ∣ m ∣ - ∣ n ∣

. Die Vektoren

(0, 1)

und

(1, 0)

haben beide Betrag 1, aber ihre Differenz hat Betrag

\sqrt{2}

.
Was gilt ist dass

∣ 3 m ∣ = 3 ∣ m ∣ = 3

Du musst |p| und |q| mit Hilfe von Trigonemtrie ausrechnen:

Also wir haben ein Dreieck, von dem eine Seite Länge 3 und eine die Länge 1 hat, der Winkel zwischen diesen beiden ist 45°. Gesucht ist die Länge der 3. Seite.
Zeichnen wir jetzmal die Höhe h zu Seite mit Länge 3 ein. Daraus ergeben sich 2 rechtwinklige Dreiecke. Eins davon enthält den 45°-Winkel mit Hypothenuse 1 und Gegenkathete h. Damit lässt sich also h berechnen. Die Ankathete dieses Winkels ist ein Teil der Seite mit Länge 3 und lässt sich ebenfalls berechnen, daraus ergibt sich dann der andere Teil dieser Strecke. von dem rechtwinkligen Dreieck das die gesuchte Seite enthält(als Hypotenuse), kennen wir jetzt also auch die beiden anderen Seiten und können mit dem Pythagoras die letzte Seite also

∣ p ∣

berechnen.

Das ganze dann analog für

∣ q ∣

Bummerang

16:52 Uhr, 05.04.2016

Hallo,

"Der Flächeninhalt wäre doch dann

p \cdot q = A

oder?"

Der Flächeninhalt ist

\frac{1}{2} \cdot | | p | | \cdot | | q | | \cdot sin (θ)

und

θ

ist der Winkel zwischen den Diagonalen. Man erkennt sofort die Analogie zu der Gleichung für Dreiecke. Der Flächeninhalt jedes der 4 Dreiecke ist

\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot | | p | |) \cdot (\frac{1}{2} \cdot | | q | |) \cdot sin (θ)

bzw. was das selbe ist

\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot | | p | |) \cdot (\frac{1}{2} \cdot | | q | |) \cdot sin (18 0^{\circ} - θ)

also

4 \cdot \frac{1}{8} \cdot | | p | | \cdot | | q | | \cdot sin (θ) = \frac{1}{2} \cdot | | p | | \cdot | | q | | \cdot sin (θ)

.

Wenn man jetzt noch weiss, dass

| | p \times q | | = | | p | | \cdot | | q | | \cdot sin (θ)

ist, dann hat man auch schon die Formel von ledum, die aber nicht so praktikabel ist wie die

\frac{1}{2} \cdot | | p | | \cdot | | q | | \cdot sin (θ)!

@Ginso:

Gegeben ist

z . B

. für

\vec{p}

das Dreieck mit einer Seitenlänge von 3 und einer Seitenlänge von 1 und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel ist 45°. Da mache ich nicht viel Brimborium um die Länge

| | \vec{p} | |

zu errechnen, da nehme ich den Kosinussatz her!

{| | \vec{p} | |}^{2} = 3^{2} + 1^{2} - 3 \cdot 1 \cdot cos (45^{\circ}) = . .

.

bzw.

| | \vec{p} | | = \sqrt{3^{2} + 1^{2} - 3 \cdot 1 \cdot cos (45^{\circ})} = . .

.

Analog das Ganze für

| | \vec{q} | |

.

EDIT:

Falls Du nicht selber drauf kommst, wie Du

θ

berechnen kannst:

cos (θ) = \frac{< p; q >}{| | p | | \cdot | | q | |}

Nutze die Ergebnisse für

| | p | |

und

| | q | |

und nutze die Linearität des Skalarproduktes zur Ermittlung von

< p; q >!

Christian- aktiv_icon

17:22 Uhr, 05.04.2016

Erstmal zu ledum

Hei ledum

Ich habe ein Parallelogramm eingezeichnet, siehe Bildmaterial.

Gedankenblitz! Ich verstehe nun durch deine Formel was du meinst.

\vec{p} \cdot \vec{q}

wäre falsch.
1. Ich erinnere mich nun an die Formel für eine Raute und dort muss man auch

\frac{1}{2}

*die beiden Diagonalen rechnen, jetzt klingelt es bei mir...
Es wäre dann auch vom Vorteil, dass ich dann auch die Vektoren in Beträge (Längen) umwandle.

Das heißt dann

: \frac{1}{2} \cdot | \vec{p} x \vec{q} |

Was verstehe ich unter einem Produkt von 2 Vektoren? Meinst du das Skalarprodukt oder das Kreuzprodukt.

Bei einem Kreuzprodukt ist es so,wenn wir eine 3. Dimension haben, dass wir 2 aufgespannte Vektoren in der Ebene haben und das Kreuzprodukt also der Ergebisvektor steht dann orthogonal zu den beiden anderen Vektoren.
Durch diese Formel habe ich verstanden warum die Formel gültig ist.
Danke ledum bis hier hin...paar sachen sind mir jedoch noch nicht eingeleuchtet
(Weitere Posts folgen für ginso un bummerang)

Christian- aktiv_icon

17:58 Uhr, 05.04.2016

Zu Ginso:
Hei Ginso und danke für deine Mühe,

Die Formel lautet also

\frac{1}{2} \cdot | \vec{p} \cdot | \vec{q} |

Hmm.... warum nicht

\frac{1}{2} \cdot | \vec{p} x \vec{q} |

- - - -

nehmen wir das richtige:

A = \frac{1}{2} \cdot | 3 \vec{m} - \vec{n} | \cdot | \vec{m} - 5 \vec{n} |

So?

- - - - -

Zum Punkt 2 Von dir: Ich hab zu schnell geschrieben und da haben sich Fehler eingeschlichen.

- - - -

Zum 3. Punkt...

Die Vektoren haben also den Betrag

1,

also sind es Einheitsvektoren. Danke für die Darstellung mit der Formel.

| 3 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) |

bedeutet dann:

| (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{10} ...

. hm wie kommst du also auf

\sqrt{2}

?

Und dann unterhalb steht bei dir 3 als ergebnis.... wie kommst du drauf?

Ohne diese information kann ich nicht weiter machen

Weiterer post bummerang folgt

Bummerang

18:17 Uhr, 05.04.2016

Hallo,

bevor Du es selber merkst, beim Kosinussatz fehlt natürlich noch eine

2!

Christian- aktiv_icon

18:46 Uhr, 05.04.2016

Hei bummerang , bevor ich anfange zu analysieren: warum doppelte Betragsstriche? Und wenn das da unten die fertige formel wäre, könnstenst du mir das endergebnis sagen , damit ich mehr weiß? Momentan habe ich noch kein eigenes Ergebnis!

Bummerang

19:01 Uhr, 05.04.2016

Hallo,

ich bevorzuge bei Vektoren die Normenschreibweise, weil anders als bei den Zahlen das innere Produkt frei wählbar ist und die Norm anhand des inneren Produktes definiert wird. Benutzt man das Skalarprodukt als inneres Produkt, ist die dadurch induzierte Norm die euklidische Norm und entspricht unserem Verständnis für Beträge. Aber eben nur dann!

"Und wenn das da unten die fertige formel wäre, könnstenst du mir das endergebnis sagen , damit ich mehr weiß?"

Ich bin doch kein Rechenknecht! Rechne selber undstelle Ergebnisse zur Diskussion!

Knecht

23:57 Uhr, 05.04.2016

Erst mal:

\vec{a} x \vec{a} = 0

\vec{a} x \vec{b} = - \vec{b} x \vec{a}

Alle Vektoren ab jetzt ohne Pfeile.

\vec{a} \times \vec{b}

bedeutet hier axb

Aus

p = a + b

und

b + q = a

im Parallelogramm folgt:

a = 0,5 \cdot (p + q)

b = 0,5 \cdot (p - q)

Jetzt Alles in Betragstrichen:
A=axb=0,5*(p+q)x0,5*(p-q)=0,25(pxp+qxp-pxq-qxq)=
0,25(0+qxp+qxp-0)=0,5*(qxp)

A=0,5*(qxp)

\to

A=0,5*(m-5n)x(3m-n)=0,5*(3mxm-mxn-15nxm+5nxn)=
0,5*(0-mxn+15mxn+0)=7*mxn

Oder A=axb

\to

a = 0,5 \cdot (p + q) = 2 m - 3 n

b = 0,5 \cdot (p - q) = m + 2 n

A=(2m-3n)x(m+2n)=2mxm-3nxm+4mxn-6nxn=
0+3mxn+4mxn+0=7mxn(Selbes Ergebnis)

Christian- aktiv_icon

21:07 Uhr, 06.04.2016

Hei bumerang

Ich habe für

| \vec{p} | = 2,4

und für

| \vec{q} | = 4,35

HI Knecht ich schau mir dein beitrag später danke

Bummerang

10:34 Uhr, 07.04.2016

Hallo,

| | \vec{p} | | = 2,3994497937820484543856704990793

| | \vec{q} | | = 4,3507392691512237706755449047496

Soweit, so richtig, war aber

m . E

. schneller zu schaffen ist als in

26

Stunden. Ich dachte schon, der Thread hätte sich erledigt...

Christian- aktiv_icon

14:31 Uhr, 07.04.2016

Ok gut soweit.
Ich musste nachdenken

Was bedeutet

p; q

?
Skalarprodukt?

Dann heißt es im nenner wie?

2,4 \cdot 4,35 =

?

Oder muss ich dann das hier machen?:

A = \frac{1}{2} \cdot 2,4 \cdot 4,35 = 5,22

Bummerang

15:38 Uhr, 07.04.2016

Hallo,

"Was bedeutet p;q?"

Wo soll das bei mir stehen? Bei mir steht höchstens

< p; q >,

und das ist die allgemein benutzte Form für innere Produkte. Wenn man also, wie in einem vorherigen Beitrag von mir beschrieben, das Skalarprodukt als inneres Produkt verwendet, dann ist es halt das Skalarprodukt!

"Dann heißt es im nenner wie?
2,4*4,35=?"

Ja und? Was ist daran verwunderlich/unbegreiflich/nachfragewürdig ?

Christian- aktiv_icon

16:16 Uhr, 07.04.2016

Ich kannte diese Darstellung nicht , deswegen verwunderlich.

Danke.

Hmm ist also da Ergebnis

5,22

Bummerang

16:20 Uhr, 07.04.2016

Hallo,

welches Ergebnis ist

5,22

?

EDIT:

Die Flächenformel war doch

A = \frac{1}{2} \cdot | | \vec{p} | | \cdot | | \vec{q} | | \cdot sin (θ)

A = (~ 5,22) \cdot sin (θ)

Christian- aktiv_icon

16:25 Uhr, 07.04.2016

Also die Fläche vom Parallelogramm.
Einheiten gibt es keine , soweit ich das verstehe.

Bummerang

16:30 Uhr, 07.04.2016

Hallo,

siehe meinen EDIT im letzten Post!

Christian- aktiv_icon

16:34 Uhr, 07.04.2016

Ah so dann also

3,7

?

Hmm ich frag mich jetzt, warum plötzlich sin....?!

Bummerang

16:42 Uhr, 07.04.2016

Hallo,

mein erster Post stammt vom

05.04.2016

16 : 52

Uhr. In diesem Post habe ich die Flächenformel

\frac{1}{2} \cdot | | p | | \cdot | | q | | \cdot sin (θ)

hergeleitet anhand der Flächenformel für Dreiecke. Mit anderen Worten, seit fast 2 Tagen steht dort, dass man den Sinus eines Winkels benötigt. Da sprichst Du von "plötzlich"? Den Einwohnern von Basel wird ja für gewöhnlich eine etwas geringere Reaktionsgeschwindigkeit nachgesagt. Aber um ehrlich zu sein: 2 Tage und noch immer nicht geschnallt! Ich glaube, dass ein Vergleich mit Deiner Reaktionsgeschwindigkeit den Einwohnern von Basel echt unrecht tun würde...

Christian- aktiv_icon

18:26 Uhr, 07.04.2016

Danke für die Beleidigung...

Ist denn mein Ergebnis nun richtig?

Bummerang

18:50 Uhr, 07.04.2016

Hallo,

wenn

3,7

als Fläche stimmen würde, dann wäre

5,22 \cdot sin (θ)

ca.

3,7

oder andersherum

sin (θ)

wäre ca.

\frac{3,7}{5,22} = 0,70881226053639846743295019157088

was fast

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}

wäre und der Winkel wäre dann ca. 45°. Wenn ich mir in einem Koordinatensystem mit

m

in x-Richtung und

n

mit 45° in Richtung in den ersten Quadranten vorstelle, dann endet

3 \cdot m - n

ausgehend vom Ursprung im zweiten Quadranten eher unweit der x-Achse und

m - 5 \cdot n

endet, ebenfalls vom Ursprung ausgehend, im dritten Quadranten nur unweit der Quadrantenhalbierenden. Da liegen doch zwischen beiden Strahlen mindestens 90°, oder?. Ich denke, dass

3,7

nicht stimmen kann!

Christian- aktiv_icon

18:56 Uhr, 07.04.2016

okey...
Das verwirrt mich nun .

Und welches Ergebnis kommt heraus ?

Respon

19:14 Uhr, 07.04.2016

Schau mal

Christian- aktiv_icon

19:23 Uhr, 07.04.2016

Danke für das Ergebnis Respon.
Jetzt verstehe ich in etwa die Zusammenhänge.

Jetzt kann ich durch das Herumexperimentieren schauen, wie ich auf das Ergebnis kommen kann.... Danke für deine Mühe bummerang und danke den rest..
Hab euch alle gut bewertet

Bummerang

19:32 Uhr, 07.04.2016

Hallo,

statt herum zu experimentieren, würde ich einfach mal in meinem ersten Post nachschauen! Genau, das ist der mit dem Sinus! Da steht auch, wie man den Kosinus von

θ

ermitteln kann! Und von Kosinus auf Sinus umzurechnen, sollte nicht so schwer sein!

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