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Parameter einer gebrochen-rationalen Funktion

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, Paramter

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14:16 Uhr, 25.08.2015

Hallo,

ich muss die Parameter

a, b

und

c

von
f(x)=1/(ax^2+bx+c)
bestimmen.

Die Funktion verläuft durch die folgenden Punkte:

f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{2}, f (- 1) = \frac{1}{2}, f (0) = 1

Bisher bin ich so vorgegangen:

1)

Als aller erstes kann ich den Parameter

c

bestimmen

f (0) = \frac{1}{0 + 0 + c} = 1

c = 1

2)

Nun setze ich den bestimmten Wert des Parameter

c

in die anderen beiden Gleichungen ein um a oder

b

im nächsten Schritt zu bestimmen

f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{\frac{1}{9} a - \frac{1}{3} b + 1} = \frac{3}{2}

f (- 1) = \frac{1}{a - b + 1} = \frac{1}{2}

Jetzt komme ich schon ins schwimmen...
Ich habe versucht den Parameter a bei

f (- 1)

zu bestimmen doch festgestellt, dass ich keinen blassen schimmer habe, wie ich hier entsprechend umstelle...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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14:18 Uhr, 25.08.2015

Die letzte Gleichung lässt sich als

a - b + 1 = 2

umschreiben, die davor entsprechend (den Bruch "umkehren"). Dann hast Du zwei lineare Gleichungen und zwei Unbekannte - einfach zu lösen.

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14:24 Uhr, 25.08.2015

ok, ist denn meine Annahme für die Umformung denn richtig? Ich muss ja verstanden haben wieso denn so umgeformt wurde :-D)

\frac{1}{a - b + 1} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{1}{1}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = a - b + 1 = 2

\frac{1}{\frac{1}{9} a - \frac{1}{3} b + 1} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 9 a - 3 b + 1 = \frac{2}{3}

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14:26 Uhr, 25.08.2015

Nein, Du hast Quatsch geschrieben.

Und ich weiß nicht, was Dein Problem ist.
Weißt Du nicht, dass

\frac{1}{x} = \frac{1}{y} < = > x = y

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14:28 Uhr, 25.08.2015

nein wusste ich nicht, aber jetzt weiß ich es, danke schön :-)

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15:28 Uhr, 25.08.2015

Vielen Dank für die großartige Hilfestellung. Ich habe nun die Lösung:

1)

Zunächst wird der Parameter

c

bestimmt:

f (0) : \frac{1}{0 + 0 + c} = 1

\Leftrightarrow c = 1

2)

Der Parameter

c

wird nun in die übrigen Funktionsgleichungen eingesetzt, um die Parameter a und

b

zu bestimmen. Wichtig ist dabei, die Funktionen in eine "rechenbare" Form umzuwandeln. Hier würde sich eine lineare Form anbieten.

f (- \frac{1}{3}) : \frac{1}{\frac{1}{9} a - \frac{1}{3} b + 1} = \frac{3}{2}

\Leftrightarrow \frac{1}{9} a - \frac{1}{3} b + 1 = \frac{2}{3}

\Leftrightarrow \frac{1}{9} a - \frac{1}{3} b = - \frac{1}{3}

f (- 1) : \frac{1}{a - b + 1} = \frac{1}{2}

\Leftrightarrow a - b + 1 = 2

\Leftrightarrow a - b = 1

3)

Da man nun mit der entsprechenden Umformung fertig ist, kann man die Gleichungen nach a oder

b

lösen:

f (- 1) = a - b = 1

\Leftrightarrow a = 1 + b

f (- \frac{1}{3}) : \frac{1}{9} (1 + b) - \frac{1}{3} b = - \frac{1}{3}

\Leftrightarrow \frac{1}{9} + \frac{1}{9} b - \frac{1}{3} b = - \frac{1}{3}

\Leftrightarrow \frac{1}{9} - \frac{2}{9} b = - \frac{1}{3}

\Leftrightarrow \frac{1}{9} - \frac{2}{9} b = - \frac{1}{3}

\Leftrightarrow - \frac{2}{9} b = - \frac{4}{9}

\Leftrightarrow b = 2

4)

Jetzt fehlt nur noch der Parameter

a

. Dieser Kann durch einsetzen aller Parameterwerte in eine gewählte Gleichung bestimmt werden:

f (- 1) : \frac{1}{a - 2 + 1} = \frac{1}{2}

\Leftrightarrow a - 2 + 1 = 2

\Leftrightarrow a - 2 = 1

\Leftrightarrow a = 3

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16:02 Uhr, 25.08.2015

Ja, richtig.

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