Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Parameterbestimmung bei Funktionen. ich verzweifle

Parameterbestimmung bei Funktionen. ich verzweifle

Schüler

Tags: Funktion, Parameter

marinalove aktiv_icon

00:44 Uhr, 19.08.2011

Hallo,

leider habe ich nicht die geringste Ahnung wie ich hier vorgehen muss, da ich eine absolute NULL in Mathe bin und das bis morgen eingereicht haben muss...
Bin über jede Hilfe dankbar, die mir das idiotensicher (!) erklärt.

a) Bestimmten Sie den Parameter k so, dass die Funktion f (index) k (x) = x²+kx an der Stelle 4 einen relativen Tiefpunkt hat. Kann man auch ein k finden, so dass f (index)k an der Stelle 4 einen relativen Hochpunkt hat?

b) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches die x-Achse bei 3 und die y-Achse bei -6 schneidet und bei x = 1 und x = -1 Extremstellen hat.

c) Bestimmen Sie ein Polynom dritten Grades, welches durch den Ursprung geht und im Punkt 2|4 eine Wendetangente hat, die parallel zur Geraden y = -6x+2 ist.

Uff... ich stehe komplett auf dem Schlauch und verzweifle :(

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Aurel

00:48 Uhr, 19.08.2011

c)

Wendepunkt bedeutet was für die Ableitungen von Funktionen?

Aurel

01:01 Uhr, 19.08.2011

Ein Polynom 3. Grades lautet:

y (x)

=ax^3+bx^2+cx+d

Das Polynom zu bestimmen bedeutet, die 4 Koeffizienten

a, b, c, d

auszurechnen, dazu brauchen wir 4 Gleichungen, die wir mittels 4 Informationen, die in deiner Angabe enthalten sind, aufstellen können.

Wie könnten die 4 Gleichungen lauten?

Aurel

01:01 Uhr, 19.08.2011

Ein Polynom 3. Grades lautet:

y (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Das Polynom zu bestimmen bedeutet, die 4 Koeffizienten

a, b, c, d

auszurechnen, dazu brauchen wir 4 Gleichungen, die wir mittels 4 Informationen, die in deiner Angabe enthalten sind, aufstellen können.

Wie könnten die 4 Gleichungen lauten?

Aurel

01:01 Uhr, 19.08.2011

Ein Polynom 3. Grades lautet:

y (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Das Polynom zu bestimmen bedeutet, die 4 Koeffizienten

a, b, c, d

auszurechnen, dazu brauchen wir 4 Gleichungen, die wir mittels 4 Informationen, die in deiner Angabe enthalten sind, aufstellen können.

Wie könnten die 4 Gleichungen lauten?

marinalove aktiv_icon

01:12 Uhr, 19.08.2011

Heißt, dass die zweite und dritte Ableitung auch Null sind? Oder wie meinst du das?

Wegen den vier Gleichungen... hilft mir auch nicht weiter.

: (

Was muss ich denn da schreiben?

Aurel

01:18 Uhr, 19.08.2011

an einem Wendepunkt ist die 2. Ableitung

= 0

(und die 3. ungleich Null)

d . h

f'' (2) = 0

damit haben wir nun die 1. Gleichung

Wie lautet denn die 2. Ableitung von

y (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Aurel

01:24 Uhr, 19.08.2011

also die 4 Gleichungen lauten:

y (0) = 0

y (2) = 4

y' (2) = - 6

y'' (2) = 0

daraus erhälst du 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten

a, b, c, d

und kannst somit

a, b, c, d

ausrechnen, und damit ist die Aufhgabe gelöst.

Aurel

01:29 Uhr, 19.08.2011

b)

Polynom 3. Grades:

y (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

4 Gleichungen für die 4 Unbekannten

a, b, c, d :

y (3) = 0

y (0) = - 6

y' (1) = 0

y' (- 1) = 0

daraus

a, b, c, d

ausrechnen

Aurel

01:48 Uhr, 19.08.2011

a)

f_{k} (x) = x^{2} + k x

Tiefpunkt bedeutet:

f_{k}' (x) = 0

und

f_{k}'' (x) > 0

also:

f_{k}' (x) = 2 x + k = 0

Tiefunkt ist bei

x = 4

. also:

f_{k}' (4) = 2 \cdot 4 + k = 0 \Leftrightarrow

k = - 8

f_{k}'' (x) = 2

f_{k}'' (4) = 2

Für

k = - 8

hat

f_{k} (x) = x^{2} + k x

bei

x = 4

einen Extremwert, bei dem es sich wegen

f_{k}'' (4) > 0

um einen Tiefpunkt handelt.

Für einen Hochpunkt bei

x = 4

müsste

f_{k}'' (4) < 0

sein, da aber

f_{k}'' (x) = 2,

also somit unabhängig von

k

stets größer als Null ist, gibt es kein

k,

für das

f_{k} (x) = x^{2} + k x

bei

x = 4

einen Hochpunkt hat.

marinalove aktiv_icon

17:22 Uhr, 19.08.2011

Danke für deine Hilfe, aber ich steh immer noch auf dem Schlauch.

a)

habe ich soweit gut verstanden, nur bei

b

stecke ich fest. Wie kommst du auf die vier Gleichungen? Verstehe zwar die Informationen aus meiner Aufgabe, die du eingesetzt hast, aber gerade diesen Zusammenhang zu erkennen macht mir Probleme.
WIeso ist

z . b

y (3) = 0,

was bedeutet das? oder

y (0) = - 6

?

Und wie gehe ich jetzt Schritt für Schritt weiter vor?
Danke für deine Geduld - hab keine Ahnung wie ich die Prüfung schaffen soll

- . -

Atlantik aktiv_icon

17:35 Uhr, 19.08.2011

Hallo marinalove,

zu

b)

1) y (3) = 0

heißt der

y

Wert an der Stelle

x = 3

ist 0
ergibt:

y = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

0 = a \cdot 3^{3} + b \cdot 3^{2} + c \cdot 3 + d

2) y (0) = - 6

heißt der

y

Wert an der Stelle

x = 0

ist

- 6

ergibt:

y = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

- 6 = a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d

ergibt

d = - 6

3)

y´(

1) = 0

heißt der y´ Wert an der Stelle

x = 1

ist 0

ergibt:

y´=

3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x + c

0 = 3 \cdot a \cdot 1^{2} + 2 \cdot b \cdot 1 + c

Analog nun die 4.Gleichung.

Dann hast du 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Alles Gute

Atlantik

Aurel

17:44 Uhr, 19.08.2011

b)

Polynom 3. Grades:

y (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Wie erhält man die 4 Gleichungen für

y (x) :

Schnittpunkt bei

x = 3

mit x-Achse bedeutet, dass

y = 0

bei

x = 3,

also:

y (3) = 0

Schnittpunkt bei

y = - 6

mit y-Achse bedeutet, dass

y = - 6

bei

x = 0,

also:

y (0) = - 6

Extremstellen bei

x = \pm 1

bedeutet, dass

y' = 0

an den Stellen

x = \pm 1,

also

y' (1) = 0

y' (- 1) = 0

daraus

a, b, c, d

ausrechnen

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y (3) = 0

y (3) = a \cdot 3^{3} + b \cdot 3^{2} + c \cdot 3 + d = 0

usw. für die anderen Gleichungen

marinalove aktiv_icon

18:10 Uhr, 19.08.2011

Okay, also die dritte Gleichung mit

y'

resultiert aus der ersten Gleichung oben abgeleitet...wäre ich nicht drauf gekommen.

: (

Dann habe ich auch die vierte so gemacht,
habe:

0 = 3 \cdot a \cdot (- 1) + 2 \cdot b \cdot (- 1) + c

Wie komme ich jetzt auf die Unbekannten? Bzw wie gehts weiter?

Atlantik aktiv_icon

18:17 Uhr, 19.08.2011

Hallo,
bei Dir muss es heißen:

0 = 3 \cdot a \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot b \cdot (- 1) + c

mfG

Atlantik

marinalove aktiv_icon

18:44 Uhr, 19.08.2011

Richtig, hatte ich nur falsch abgeschrieben! :-) Und nun?

Aurel

18:50 Uhr, 19.08.2011

Nun müsstest du 4 Gleichungen mit den 4 Unbekannteb

a, b, c, d

haben, poste vielleicht mal deine 4 Gleichungen zur Kontrolle.

Dann muss dieses Gleichungssystem gelöst werden - Additionsverfahren, etc.

Somit erhält man

a, b, c, d

und damit das gesuchte Polynom 3. Grades

marinalove aktiv_icon

19:18 Uhr, 19.08.2011

Meine Gleichungen:

0 = a \cdot

3³+b*3³+c*3+d

- 6 = a \cdot

0³+b*0²+c*0+d

d = - 6

0 = 3 \cdot a \cdot 1 + 2 \cdot b \cdot 1 + c

0 =

3*a*(-1)²+2*b*(-1)+c

DmitriJakov aktiv_icon

19:38 Uhr, 19.08.2011

Deine Gleichungen sehen gut aus. Noch ein Tip bezüglich des Schreibens von Formeln hier im board:

Wenn Du

a^{3}

schreiben willst, dann tippe "a^3" und nicht a+AltGR+3. das kann der Editor hier nicht entziffern und gibt dann für die gesamte Eingabe den Löffel ab.

Wie willst Du jetzt weiter machen?

PS: Habe eben einen kleinen Vertipper bei Deiner ersten Gleichung gesehen. Du hast zweimal 3³ dastehen.

marinalove aktiv_icon

20:23 Uhr, 19.08.2011

Jep, da sollte eigentlich ein

^2

stehen ;-)
Okay!
Ich kann ja jetzt mit Additions- Gleichsetzungs oder Gauß lösen oder?
Hab nur vergessen wie das geht und muss mich da erstmal wieder einlesen.
Was ist denn am einfachsten? Freu mich über Hilfe dazu, vielleicht könnte mir das jemand lösen, dass ich diese Aufgabe mal abhaken kann

\frac{:}{}

DmitriJakov aktiv_icon

20:27 Uhr, 19.08.2011

Also diese Übung werde ich Dir jetzt nicht wegnehmen :-D)

Wenn Du Gauß kannst, dann nimm den. Der geht am schnellsten, aber man verrechnet sich auch am schnellsten ohne zu merken wo :-D)

marinalove aktiv_icon

20:30 Uhr, 19.08.2011

Problem ist dass ich das wirklich bis morgen absenden muss und ich das Gefühl hab ich werd nicht mehr fertig heute... konnte Gauß bis vor 4 Monaten als ich mit Analysis loslegte richtig gut, aber habs einfach vergessen und muss mich erst wieder einlesen

: (

Kannst du mir helfen oder wenigstens nochmal genau erläutern wie das System läuft?
Ist grauenvoll wenn ich ein paar Wochen nicht damit arbeite, ist alles wieder weg...

DmitriJakov aktiv_icon

20:44 Uhr, 19.08.2011

ok, es bleiben ja nur effektiv 3 Gleichungen übrig.

d = - 6

hast Du ja schon, Also kommt jetzt:
I.

27 a + 9 b + 3 c = 6

II.

3 a + 2 b + c = 0

III.

3 a - 2 b + c = 0

Beim nochmaligen Überlegen: Hier ist das Additionsverfahren höchst effizient.
Bilde einfach II+III und II-III

Und dann bist Du fast fertig ;-)

marinalove aktiv_icon

20:52 Uhr, 19.08.2011

hab jetzt II

+

III gemacht und

6 a + 2 c = 0

raus. War das von dir ein Tippfehler oder soll ich II von II abziehen? Das ist dann doch kein Additionsverfahren mehr oder?

DmitriJakov aktiv_icon

21:00 Uhr, 19.08.2011

Nein, das war kein Tippfehler. Das Ergebnis

6 a + 2 c = 0

ist doch was hervorragendes. Umgeformt wird daraus:

3 a + c = 0

oder:

c = - 3 a

Und wieso darf eine Subtraktion nicht zur Gruppe des Additionsverfahren gezählt werden? Wenn es Dich zu garstig stört, dann multipliziere II oder III vorher mit

- 1

und addiere dann :-D)

Und II-III ergibt:

3 a - 3 a + 2 b - (- 2 b) + c - c = 0

4 b = 0

\to b = 0

Was begehrt Euer Herz denn mehr :-D)
Also:

b = 0

und

c = - 3 a

Eingesetzt in I:

27 \cdot a + 9 \cdot 0 + 3 \cdot (- 3 a) = 6

Also von hier ab machst Du jetzt alleine weiter ;-)

marinalove aktiv_icon

21:29 Uhr, 19.08.2011

a = \frac{1}{3}

:-)
Und was mach ich nun mit den vier bekannten??

DmitriJakov aktiv_icon

21:34 Uhr, 19.08.2011

Bring sie mit auf die Party von

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

:-D)
Sprich: Formuliere die Funktionsvorschrift.

Und zur Probe kannst Du ja nachrechnen, ob die Nullstelle bei

x = 3

liegt, der Schnitt mit der y-Achse bei

- 6

liegt, und die beiden Extrema bei jeweils

+ 1

und

- 1

liegen.

marinalove aktiv_icon

21:39 Uhr, 19.08.2011

Das mit der Party kam mir auch in den Sinn :-D)

Nein also! Wie stell ich denn hier eine Funktionsvorschrift auf... setz ich das einfach in die Gleichung ein?
Seufz, ich werde nicht fertig hier

- . -

c)

ist ja auch noch offen. Sehe schon das wird eine lange Nacht

: (

marinalove aktiv_icon

21:43 Uhr, 19.08.2011

f : x \to

1/3x³-3ax-6! Richtig?

marinalove aktiv_icon

21:43 Uhr, 19.08.2011

f : x \to

1/3x³-3ax-6! Richtig?

DmitriJakov aktiv_icon

21:44 Uhr, 19.08.2011

Du hast doch jetzt für

a - d

Werte gefunden:

a = \frac{1}{3}

b = 0

c = - 1

d = - 6

Und die setzt Du jetzt in

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

ein:

f (x) = \frac{1}{3} \cdot x^{3} + 0 \cdot x^{2} + (- 1) \cdot x + (- 6

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 6

marinalove aktiv_icon

21:46 Uhr, 19.08.2011

Fehler gefunden und korrigiert, hatte nur das

c

falsch :-)
Also gut, jetzt geht's an aufgabe

c),

kannst du mir da auch weiter helfen??

DmitriJakov aktiv_icon

21:51 Uhr, 19.08.2011

Und bei Aufgabe

c) :

Wieder Polynom dritten Grades, also Parameter

a, b, c

und

d

zu bestimmen. Allgemeine Funktionsgleichung

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Dazu nötig: 4 Informationen, die zu 4 Gleichungen führen.
Info 1: geht durch den Ursprung, also

f (0) = 0

(was bedeutet, dass

d = 0

ist)
Info 2: Geht durch den Punkt

2 | 4,

also:

f (2) = 4

Info 3: Hat in

2 | 4

einen Wendepunkt, also 2. Ableitung an der Stelle

x = 2

ist Null
Info 4: Hat in

2 | 4

die selbe Steigung wie die Gerade

y = - 6 x + 2,

also

f' (2) = - 6

So! Damit kannst Du nun selbst das Gleichungssystem aufstellen, das dann zu lösen ist.

Your turn :-)

marinalove aktiv_icon

21:59 Uhr, 19.08.2011

Habe:

y = 0

y (2) = 4

y' (2) = - 6

y'' (2) = 0

0 = 0

4 = 12 a + 4 b + 2 c + d

Die beiden Ableitungen machen mir Probleme

: (

DmitriJakov aktiv_icon

22:12 Uhr, 19.08.2011

Also zunächst mal zu den ersten beiden Gleichungen
Du setzt für

x

den Wert ein, der vorgegeben ist:

f (0) = 0

\to 0 = a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d

0 = d

f (2) = 4

\to 4 = a \cdot 2^{3} + b \cdot 2^{2} + c \cdot 2 + d

4 = 8 a + 4 b + 2 c + d

Eigentlich kannst Du hier schon

d

weglassen, denn Du hast ja schon festgestellt:

d = 0

. Also:

4 = 8 a + 4 b + 2 c

So, und für

f' (2) = - 6

leitest Du erstmal die allgemeine Form ab:

f' (x) = 3 \cdot a x^{2} + 2 \cdot b x + c

f' (2) = - 6

\to - 6 = 3 a \cdot 2^{2} + 2 b \cdot 2 + c

- 6 = 12 a + 4 b + c

und

f'' (x) = 6 \cdot a x + 2 b

f'' (2) = 0

\to 0 = 6 \cdot a \cdot 2 + 2 b

0 = 12 a + 2 b

marinalove aktiv_icon

22:22 Uhr, 19.08.2011

4 = 8 a + 4 b + 2 c + d

- 6 = 12 a + 4 b + c - - \to 0 = 12 a + 4 b + c + 6

III

0 = 12 a + 2 b

Habe II von III abgezogen und

2 b + c + 6

raus.

DmitriJakov aktiv_icon

22:33 Uhr, 19.08.2011

Du hast hoffentlich raus:

2 b + c + 6 = 0

Und bei Gleichung I kannst Du den Parameter

d

weglassen, weil der ist ja Null.
So! aus

0 = 12 a + 2 b

kannst Du machen:

b = - 6 a

und aus dem eben von Dir gefundenen

2 b + c + 6 = 0

kannst Du machen:

c = - 2 b - 6

oder, weil

b = - 6 a

c = - 2 \cdot (- 6 a) - 6 = 12 a - 6

Jetzt setze

b = - 6 a

und

c = 12 a - 6

in Gleichung 1 ein und errechne

a

. Und wenn Du das hast, rechnest Du mit den Formeln aus dem vorangegangenen Satz

b

und

c

aus und schreibst sie hin.

marinalove aktiv_icon

22:48 Uhr, 19.08.2011

1,25 = a

Und das setze ich jetzt wo ein?

Ich mache mir wirklich Sorgen um meine Prüfung. Finde ich diese allgemeine Formel die du mir nanntest

z . B

. in der Formelsammlung (wie heißt die?) Mein Problem ist nicht das rechnen selbst, eher den Rechenweg zu finden bzw. zu wissen was ich tun muss...

DmitriJakov aktiv_icon

23:08 Uhr, 19.08.2011

Du bist müde und Du siehst auch schon lange den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr, Du bist rotglühend heiß gelaufen. Dein Ergebnis für a ist inkorrekt. Da musst Du nochmal nachrechnen, aber nicht mehr heute!

Wenn Du a ausgerechnet hast dann hast Du die Formeln für

b

und

c

direkt vor der Nase liegen und sie heissen:

b = - 6 a

c = 12 a - 6

Da Du im Moment noch fragst wo Du a einsetzen sollst, deshalb ist jetzt ganz dringend eine Pause angesagt. Denn selbst wenn ich Dich fragen würde warum

2 + 2

das selbe ist wie

2 \cdot 2,

dann wüsstest Du nicht mehr die Antwort.

Geh' schlafen und schau Dir morgen in aller Ruhe diesen thread nochmal an. Was Du dir heute in 2 Stunden qualvoll einprügelst, machst Du morgen spielend in