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Parametergleichung einer Ebene durch 2 Punkte?!?
Schüler
Tags: halbiert, Parametergleichung, Würfel
 
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Hallo Leute, ich sitze schon sehr lange an der folgenden aufgabe und komme einfach nicht weiter. die aufgabe lautet: Ein Würfel hat die diagonal liegenden Eckpunkte und . Geben sie die übrigen koordinaten der eckpunkte an. Geben sie eine parametergleichung der ebene an, die durch A und geht und den Würfel halbiert. Die koordinaten konnte ich natürlich selbst bestimmen; dadurch, dass es sich hier um einen würfel handelt, gelang mir das. Aber den 2. teil, den verstehe ich nicht und verzweifle mal wieder! ich habe schon alles erdenklich (wie ich finde) versucht, aber irgendwie macht das alles gar keinen sinn.. Vor allem das mit dem halbieren ist auch nicht verständlich Bitte kann mir da jemand helfen und erklären, wie ich vorzugehen habe? dringend! DANKESCHÖN für eure hilfe, herzlichen dank, lg emilie Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo Emilie, bei normaler Bezeichnung der Eckpunkte ist das doch die Ebene durch und Gruß Wolfgang |
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das hilft mir überhaupt nicht weiter kann mir jemand den lösungsweg komplett erklären, weil ich einfach nicht weiterkomme und dringend mal zu einer lösung kommen muss. das wäre wirklich sehr sehr nett!! lg emilie |
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Ein dritter Punkt der gesuchten Ebene ist Kannst du die Parametergleichung einer Ebene durch die drei geeigneten Punkte und berechnen? JA oder NEIN solltest du doch wohl noch schaffen, wenn ich dir helfen soll!? Das würde MIR UND DIR nämlich weiterhelfen! Unter deiner Frage steht nämlich, du willst die Lösung "in ZUSAMMENARBEIT mit anderen erstellen". Auf dieser Basis wollte ich dir eigentlich den "kopmletten Lösungsweg erklären". |
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Obwohl ich dein Verhalten etwas seltsam finde, schreibe ich dir jetzt den kompletten Lösungsweg hin, weil es schon so spät ist und ich annehme, dass du nicht mehr online bist: Die gesuchte Ebene hat die Richtungsvektoren und weil beide bei A beginnenden Pfeile innerhalb von verlaufen.A ist hier ja der Ursprung des Koordinatensystems] Als Aufpunkt irgendein Punkt der Ebene) können wir am einfachsten A mit dem Ortsvektor nehmen. Die Parametergleichung lautet dann Also: ist die gesuchte Ebene. ist der Nullvektor und fällt deshalb in der Summe einfach weg Gruß Wolfgang |
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Dadurch, dass du unglücklicherweise Bindestriche zur Trennung der Punktkoordinaten verwendet hast, hat Wolfgang bei negative Werte angenommen. Ich nehme an, dass du gemeint hast. Außerdem ist die Aufgabe vieldeutig, weil jede Ebene durch die Raumdiagonale AG den Würfel in zwei volumsgleiche kongruente Körper teilt. Das bedeutet, dass jede Ebene eine Lösung ist. Dabei sind und beliebig zu wählende Werte, für die bloß nicht gelten darf. Mit und wählst du zB eine erstprojizierende Ebene die vermutlich die offensichtlichste, aber eben keinesfalls die einzige, Lösung ist und in der auch die Punkte und des Würfels liegen. Erstprojizierend bedeutet übrigens, dass die Ebene senkrecht zur Grundrißebene (xy-Ebene) liegt, hier also zB die z-Achse enthält. Hast du wirklich den genauen und vollständigen Wortlaut der Angabe verwendet? Steht da wirklich " Geben sie eine parametergleichung der ebene an " oder lautet es " Geben Sie eine Parameterdarstellung einer Ebene an "? Oder gibts irgend eine andere Zusatzinformation, die du unterschlagen hast? Zum Beispiel die Zusatzforderung, dass die beiden Hälften prismatisch sein sollen. Dann gäbe es immerhin nur drei Lösungen. |
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Guten Morgen, ich bin eingeschlafen, deshalb konnte ich leider nicht mehr antworten.. @Wolfgang: Dankesehr für deine ausführlich antwort.das stimmt schon, ich hatte gestern einfach keine zeit mehr, um die lösung gemeinsam zu erarbeiten. ich muss mal jetzt schauen, aber ich denke ich habe deinen lösungsweg verstanden. Doch in der aufgabe steht ja auch, dass die gleichung den würfel halbieren soll. das hast du vergessen, denke ich. soll ich dann einfach die hälfte der gleichung nehmen oder wie ist das zu verstehen? Vielen vielen dank für deine hilfe! @Roman: Die aufgabe geht ja noch weiter: die gleichung soll ja den würfel halbieren, was ich nicht verstehe. deine erklärung kann ich irgendwie auch nicht verstehen, zu viele fachbegriffe.. aber trotzdem danke! LG Emilie |
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Ist dir klar, dass es durch nur zwei Punkte nicht nur eine Ebene gibt, sondern unendlich viele? Ein sogenanntes Ebenenbüschel. So wie die Seiten eines aufgeschlagenen Buches das man durchblättert. Sie alle enthalten eine gemeinsame Gerade (den Buchrücken). Somit gibt es auch unendlich viele Ebenen durch die Würfeldiagonale AG. die gleichung soll ja den würfel halbieren, Eine Gleichung kann keinen Körper halbieren! Aber die Ebene (die durch die Gleichung festgelegt ist) teilt den Würfel in zwei Teile. Und wie ich vorhin festgestellt habe, teilt jede beliebige Ebene durch die Würfeldiagonale AG den Würfel in zwei deckungsgleiche Körper, "halbiert" ihn also. Das gilt auch für jede andere Ebene durch den Mittelpunkt des Würfels. Die Ebene ist durch diese "Halbierungsforderung" also nicht eindeutig festgelegt, sondern es gibt unendlich viele Ebenen mit dieser Eigenschaft. Wenn die Lösung eindeutig sein soll, dann müsste also noch etwas Zusätzliches gefordert sein. Oder aber du kannst die Gleichung irgendeiner Ebene durch AG als Lösung abgeben (also in der Lösung von vorhin beliebige Werte für und wählen, Hauptsache sind sind nicht alle gleich). Die aufgabe geht ja noch weiter Ja! Wie? Was ist noch gefragt? Vielleicht bringt das Licht ins Dunkel. |
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Wegen deiner Bindestriche bei A hat Roman mit wohl recht!? (Mit der "Nichteindeutig" der Aufgabenstellung hat er in jedem Fall recht!) Ein möglicher dritter Punkt wäre dann und die Bezeichnungsreihenfolge der Eckpunkte eher ungewöhnlich] Die Lösung würde sich entsprechend verändern. Was die Halbierung des Würfels angeht, steht in der Aufgabe nichts von "Halbierung des Volumes". Deshalb sollte man wohl davon ausgehen, dass der Würfel durch eine Ebene, die durch die Punkte A und verläuft, auf die einfachste Art in zwei identische Hälften zerlegt werden soll ( was natürlich leider auch nicht in der Aufgabe steht aber wohl so gemeint ist). Vielleicht solltest du einfach den kompletten Aufgabentext posten. VLG Wolfgang |
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Identisch sind die beiden Hälften nie, kongruent aber immer - für jede Lage der Ebene. Die Volumsgleichheit ist nur eine triviale Folgerung aus der Kongruenz. Was den Begriff "einfachste Art" anlangt, so ist mir der ein wenig zu vage um eine eindeutige Lösung zu forcieren. Aber ich unterstütze deinen Antrag den vollständigen Originalangabetext sehen zu wollen. Vorausgesetzt, dass seitens der Fragestellerin noch Interesse besteht. Gruß PS: Ich finde die Bezeichungsreihenfolge der Würfelecken eigentlich weder unlogisch noch ungewöhnlich. Es sind ja nur A und als Endpunkte einer Raumdiagonale angegeben. Dass Der Ursprung mit A bezeichnet wird, finde ich OK. Dass das Basisquadrat in der xy-Ebene mit ABCD benamst wird ist doch durchaus üblich und da erhält der A diagonalgegenüberliegende Punkt den Namen C. Eine Etage höher gehts direkt über A dann mit weiter (die Ebene sollte natürlich nicht so bezeichnet werden) und da bekommt der Punkt über konsequenterweise den Namen G. Ich hätts nicht anders gemacht. |
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@Roman: Sorry, bei genauerem Hinsehen hätte ich es auch nicht anders gemacht! :-) Und du hast eigentlich mit ALLEM recht, was du sagst: die Formulierung "...bestimmen Sie eine Parametergleichung 'DER' Ebene.." ist in jedem Fall falsch. Gruß Wolfgang |
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Hallo Emilie, für den Fall, dass du noch einmal reinschaust: Vielleicht solltest du - trotz der falschen Aufgabenstellung - vielleicht EINE der unendlich vielen Lösungsebenen gemäß meiner Rechnung um Uhr ausrechnen, aber (wegen und nicht mit den Vektoren und und dann die komplette Aufgabenstellung posten. Gruß Wolfgang |
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Hallo, dankesehr für eure Antworten! ich habe mir zwar alles durchgelesen, eure diskussion oder so aber nicht wirklich verstanden.. Ich kann doch nichts dafür, dass das so in der aufgabe steht. das ist die VOLLSTÄNDIGE aufgabe. Interesse besteht noch, weil ich den satz ''Geben sie eine parametergleichung der ebene an, die durch A und geht und den würfel halbiert''. das ist der letzte satz der aufgabe. vorher stand eben nur drin, dass ich die eckpunkte benennen soll, was ich ja auch gemacht habe. ich kann man mir das mit dem halbieren und der ebene durch den würfel einfach nicht verstehen auch nicht bildlich.. @roman: deine buchmetaphorik habe ich ebenfalls nicht verstanden, und bitte sprich nicht so viel mit fachbegriffen; ich bin kein mathestudent wie du es vielleicht bist.. Trotzdem Danke!! LG emilie |
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Hallo Emilie, Du kannst doch einen Spielwürfel so hinlegen, dass eine Ecke zu dir zeigt, und ihn dann von oben so durchsägen, dass zwei kleine gleiche "Hausdächer" entstehen. Genau so ist die Halbierung durch die Ebene gemeint. Die Schnittebene der Säge ist dann unsere gesuchte Ebene. Gruß Wolfgang |
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Hallo Wolfgang, nach mehrmaligem Lesen habe ich endlich verstanden, was du meinst und dadurch auch grundsätzlich den sinn verstanden. danke dir schon mal dafür! nur habe ich noch eine frage dazu: die ebene, die du durch deine bildliche erklärung mit den hausdächern beschrieben hast, geht dann doch nicht nur durch die diagonal liegenden eckpunkte A und sondern doch auch durch und B. Stimmt das? Sonst habe ich es doch nicht verstanden.. Und falls es stimmt, hätte man als weiteren Punkt für die Aufstellung der Gleichung auch oder nehmen können ; die anderen dagegen nicht oder? LG Emilie PS: ich hoffe, ich habe es richtig verstanden, habe mir deine ''definition'' nämlich genau so ins heft geschrieben (nicht wirklich mathematisch:-D)) |
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Unsere Ebene geht tatsächlich durch vier Eckpunkte des Würfels, ich weiß aber leider immer noch nicht, welchen Punktnamen du welche Koordinaten zugeordnet hast.(?) Sonst könnte ich dir deine Frage beantworten. Auf jeden Fall geht unsere Ebene durch den Punkt senkrecht oberhalb von A (normalerweise genannt) und den Punkt senkrecht unterhalb von (normalerweise genannt). Letzeren haben wir für unsere Parametergleichung benutzt). Gruß Wolfgang |
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Hallo Wolfgang, ich kann dir meine Punkte mal auzählen (dabei trenne ich die zahlen mit einem bindestrich - ab, weil ich nicht weiß wie man den geraden strich macht; also keine Minuszeichen) LG emilie |
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Alles, was du oben geschrieben hast, ist richtig. Glückwunsch, du hast es verstanden! Der "gerade Strich" ist bei mir links unten über der <Strg>-Taste VlG Wolfgang Mach bitte ein Häkchen, wenn du fertig bist! |
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Oh! Danke SEHR! Wenn du es mir nicht erklärt hättest, hätte ich es nicht verstanden! Das problem bei mir ist aber immer noch, dass ich die aufstellung der ebenengleichung nicht vertstehe, ich meine: Ich habe ja A und in der Aufgabe gegeben gehabt und meine Denkweise war dann : Um eine ebenengleichung aufzustellen brauche ich drei punkte, mir fehlt also noch ein punkt. So denke ich, also verstehen tue ich die Zusammensetzung der gleichung nicht.. denn wenn ich mr den spannvektor AC auf der von mir gemachten zeichung ansehe, dann geht die richtung in die ebene hinein, während der andere spannvektor AG mit der Ebene identisch ist. Kannst du mir das möglicherweise erklären? LG Emilie (den haken werde ich dann nicht vergessen; und ich habe den geraden strich zwar entdeckt aber kriege es trotzdem nicht hin..) |
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und verlaufen beide in unserer Ebene aus der korrigierten RECHNUNG mit dem dritten Punkt Das ist die Ebene durch und E. Du hast eine andere der unendlich vielen Ebenen(durch ABHG) beschrieben, die auch richtig ist. Diese hat natürlich andere Spannvektoren und eine andere Parametergleichung. |
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Du kannst ja mal auf meiner zeichnung gucken, die ich anhänge, was ich meine.. Vektor AG verläuft auf der diagonal gehenden ebene, aber Vektor AC läuft ja nur darauf zu und hindurch sozusagen.  |
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Deine Zeichnung stimmt genau mit dem überein, was in meinem letzten Post steht! (Außer dass "andersherum" verläuft. Die Ebene ist doch wie eine (unendliche) "Wand" durch die Eckpunkte ACGE und in dieser Wand verläuft der Pfeil . Wie gesagt, bei der ebenfalls richtigen Ebene ABGH ist es anders, aber die haben wir anfangs nicht berechnet, können wir aber gern noch zusammen tun? Kann ja auch morgen sein :-)] VlG Wolfgang |
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Ja, das fände ich echt nett, aber am besten morgen, weil ich noch mit den anderen arbeitsblättern zu morgen vorankommen muss, aber da kannst du mir auch helfen, wenn du magst (ich stell die fragen auf der hauptseite, denke ich); ich muss die heute alle noch abarbeiten.. Vielen vielen herzlichen Dank für deine hilfe, wirklich!! auf dem bild im anhang habe ich mal die ebene gezeichnet, läuft vektor AC am rande der ebene? LG Emilie  |
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Er verläuft am Rande des Quadrats, das in der Ebene liegt. Die gesamte Ebene verläuft aber über die Ränder des Quadrats hinaus unendlich weiter. |
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Achs so, jetzt habe ich die Aufgabe endlich verstanden! Noch eine generelle Frage: der stützvektor befindet sich nie in der eben, sondern immer nur außerhalb oder? |
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Ein Stützvektor hat einen Pfeil, der vom Nullpunkt zu einem Punkt der Ebene verläuft (=Ortsvektor dieses Punktes). Er "verläuft" nur dann innerhalb der Ebene, wenn die Ebene den Nullpunkt enthält. Deshalb kann man bei unseren Ebenen als Stützvektor den Nullvektor nehmen denn dieser beginnt am Nullpunkt und endet auch dort ( innerhalb der Ebene). |
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Jetzt habe ich alles verstanden dank dir!! Dankeschön! Die aufgabe ist somit abgehakt :-) LG Emilie |
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