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Paramterisierung von einer Fläche im R^3

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration von Flächen, parametrisierung

Laura-Ph2505 aktiv_icon

17:01 Uhr, 19.07.2019

Hallo,

ich lerne gerade für meine Matheklausur mit Altklausuren. Hier habe ich 3 Flächen gefunden, die man parametrisieren soll. Leider sehe ich überhaupt nicht, wie das funktioieren könnte. Ich habe sie mir schon von Wolfram Alpha zeichnen lassen, aber ich habe immer noch keine Vorstellung wie eine Parametrisierung aussehen könnte. Ich wäre sehr dankbar für Vorschläge, ich hatte schon immer Probleme beim Parametrisieren und versuche mir gerade möglichst viele Beispiele anzugucken um daraus etwas für andere zu lernen, leider habe ich hierzu keine Lösung.

Die Flächen sind:
1.

x - 3 \cdot y \cdot z - y^{2} - z^{3} = 0

{(x + y)}^{2} + z \cdot y^{3} - x (1 + y^{2}) = 0

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4

Es tut mir leid, keine Ideen angeben zu können, aber ich habe auf Grund der Mischung der Potenzen einfach überhaupt keine Ahung. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen,
mit freundlichen Grüßen
Laura.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

michaL aktiv_icon

18:57 Uhr, 19.07.2019

Hallo,

wenn man schon weiß, dass es sich um eine Fläche handelt, dann reicht es, die Gleichung(en) nach einer der vorhandenen Variablen aufzulösen. Dann sind die beiden anderen Variablen eben Parameter.
Dieses Vorgehen klappt bei Gleichung 1.. Dort lässt sich auf sehr einfache Weise nach

x

auflösen.
Bei 2. klappt das auch. Sicher erkennst du leicht, nach welcher der Variablen sich die Gleichung einfach auflösen lässt.

Bei 3. ist die Sache nicht ganz so einfach. Offenbar handelt es sich bei der Fläche ja um die Oberfläche einer Kugel um den Mittelpunkt

(1 ∣ 2 ∣ 3)

mit Radius 2.
Um die zu parametrisieren, lohnt es sich, nach Kugelkoordinaten zu suchen und im Hinterkopf zu behalten, dass der Radius konstant ist.

Mfg Michael

Laura-Ph2505 aktiv_icon

19:55 Uhr, 19.07.2019

Erstmal vielen, vielen Dank für die Antwort.
Habe ich das denn jetzt richtig verstanden.

Für 1. wäre die Parametrisierung:

(u_{1}, u_{2}) \to (3 \cdot u_{1} \cdot u_{2} + u_{1}^{2} + u_{2}^{3})

Für

2 .,

wen man nach

z

umstellt:

(u_{1}, u_{2}) \to (u_{1}, u_{2}, \frac{- {(u_{1} + u_{2})}^{2} + u_{1} \cdot (1 + u_{2}^{2})}{u_{2}^{3}})

Und für 3. würde man die normale Parametrisierung für eine Kugel mit

r = 2

nehmen, ohne die Verschiebung zu berücksichtigen? Also:

(φ, θ) \to (2 \cdot sin (θ) \cdot cos (φ), 2 \cdot sin (θ) \cdot sin (φ), 2 \cdot cos (θ))

Würde mich riesig über eine Rückmeldung freuen und nochmal danke.

michaL aktiv_icon

20:29 Uhr, 19.07.2019

Hallo,

bei der ersten Parametrisierung hast du die beiden Parameter vergessen.
Die 2. sieht korrekt aus.

> ohne die Verschiebung zu berücksichtigen?

Tja, die Aufgabe erfordert aber deren Berücksichtigung. Wie muss man das einarbeiten?

Mfg Michael

Laura-Ph2505 aktiv_icon

21:09 Uhr, 19.07.2019

Oh ja, danke. Mit der Anmerkung zu dem 1. hast du natürlich recht. Irgendwie erscheint alles aus dem Mathematik-Modus auch doppelt, keine Ahnung warum.

Nun nochmal zu dem dritten Fall, ist das direkt in der Parameterisierung zu berücksichtigen oder in den Integralgrenzen? Ich habe ehrlich gesagt nicht wirklich eine Idee. Es wundert mich, das das überhaupt eine Rolle spielt wo sich die Fläche befindet, wenn ich diese parametrisiere.

Tut mir leid, dass mir nichts dazu einfällt.

ledum aktiv_icon

21:20 Uhr, 19.07.2019

Hallo
bei

3)

musst du einfach die Verschiebung noch addieren also zur

x

Komponente 1 addieren usw.
Gruß ledum

michaL aktiv_icon

22:33 Uhr, 19.07.2019

Hallo,

hm, eigentlich kann man durch Nachdenken darauf kommen!

Bei einer Kugel(oberfläche) mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius

r

gilt die Gleichung

u^{2} + v^{2} + w^{2} = r^{2}

(1),
wobei ich nun mit Absicht die Koordinaten

u

v

und

w

genommen habe.

Dann würde gemäß Kugelkoordinaten folgendes gelten:

u = r \sin (θ) \cos (φ)

v = r \sin (θ) \sin (φ)

w = r \cos (θ)

Nun lautet die dir gegebene Kugelgleichung aber nicht (1) sondern

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 4

Was sind also "hier" die "u", "v" bzw. "w"?

Mfg Michael

Laura-Ph2505 aktiv_icon

08:22 Uhr, 20.07.2019

Achso, okay. Also wäre die Lösung jetzt:

u = r \cdot sin (θ) \cdot cos (φ) - 1

v = r \cdot sin (θ) \cdot sin (φ) - 2

w = r \cdot cos (θ) - 3

Vielen Dank nochmal, das Leute ihre freie Zeit opfern um jemanden wie mir bei Mathe zu helfen.

michaL aktiv_icon

08:31 Uhr, 20.07.2019

Hallo,

> u=r⋅sin(θ)⋅cos(φ)−1

Nein.
Denn:

u = r \sin (θ) \cos (φ)

einerseits (s.o.) und

u = x - 1

durch optischen Vergleich andererseits.
Also:

x - 1 = r \sin (θ) \cos (φ)

, was natürlich zu

x = r \sin (θ) \cos (φ) \oplus 1

führt. (Vergleiche ledums post.)
Die anderen beiden Koordinaten entsprechend.

Mfg Michael

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