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Partialbruchzerlegung ohne Nullstellen im Zähler

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Linearfaktorzerlegung, Partialbruchzerlegung, polynom

anonymous

19:20 Uhr, 27.11.2015

Guten Abend,

ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie die maximalen Defnitionsbereiche der folgenden rationalen Funktionen sowie deren Partialbruchzerlegungen im Reellen und im Komplexen:

f (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} + 4 x + 5}

Zuerst habe ich nach Nullstellen im Nenner gesucht, aber im Reellen sind schonmal keine Nullstellen, soweit bin ich schonmal gekommen. Da das Polynom im Zähler den gleichen Grad hat wie im Nenner, habe ich die Polynomdivision durchgeführt, es kam

f (x) 1 - \frac{2 x + 8}{x^{2} + 4 x + 5}

heraus.

Da ich den Nenner aber nicht weiter in Linearfaktoren zerlegen kann, weiß ich jetzt nicht, wie ich weiter machen soll mit der Partialbruchzerlegung. Danke für eure Hilfe!

Gruß
Daniel

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Atlantik aktiv_icon

19:34 Uhr, 27.11.2015

Hier ist eine Hilfe:

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

mfG

Atlantik

Roman-22

19:43 Uhr, 27.11.2015

>

Da ich den Nenner aber nicht weiter in Linearfaktoren zerlegen kann,
Stopp! hast du deine eigene Angabe nicht gründlich genug gelesen?
Dort steht doch " deren Partialbruchzerlegungen im Reellen und im Komplexen:"

Somit bist du mit

\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} + 4 x + 5} = 1 - \frac{2 x + 8}{x^{2} + 4 x + 5}

im Reellen auch schon fertig!

Aber im Komplexen hat der Nenner aber sehr wohl zwei Nullstellen und lässt sich daher in Linearfaktoren zerlegen! Dort gehts also weiter. Natürlich sind die dort auftretenden Koeffizienten dann nicht mehr reell (sie sind aber wenigstens ein Paar konjugiert komplexer Zahlen, so wie die Nennernullstellen ja auch).

Atlantiks Link zu Arndt Brünner wird dir dabei allerdings leider nicht helfen.

R

Bummerang

19:53 Uhr, 27.11.2015

Hallo,

"Atlantiks Link zu Arndt Brünner wird dir dabei allerdings leider nicht helfen."

Warum wundert das niemand, außer vielleicht Atlantik?

anonymous

20:19 Uhr, 27.11.2015

Ok, dann bin ich mit

ℝ

ja schonmal fertig.

Aber wie finde ich die genauen Nullstellen im Komplexen denn raus? Die brauche ich doch für die folgenden Schritte oder nicht? Danke

rundblick aktiv_icon

20:23 Uhr, 27.11.2015

.
"Die brauche ich doch für die folgenden Schritte oder nicht?"

\to

WELCHE "folgenden" Schritte?

\to .

.
.

anonymous

20:31 Uhr, 27.11.2015

"WELCHE "folgenden" Schritte? "

Für die Partialbruchzerlegung muss ich ja die Linearfaktorzerlegung im Nenner stehen haben... sind die Nullstelln im Komplexen bei

- 2 - i

und

- 2 + i

? Denn bei der pq-Formel kommt heraus

\to - 2 \pm \sqrt{- 1}

abakus

20:42 Uhr, 27.11.2015

Ja, diese komplexen Nenner ergeben sich und können / müssen für den Ansatz der PBZ verwendet werden.

anonymous

15:49 Uhr, 28.11.2015

Ok, jetzt habe ich es hinbekommen, ging dann einigermaßen gut.

Eine Nebenfrage habe ich dann allerdings noch. Bei derselben Aufgabe ist dann noch diese Funktion:

g (x) = \frac{- x}{{(x + 2)}^{2}}

Im Reellen hat die Funktion im Nenner ja offensichtlich eine doppelte Nullstelle bei

- 2

. Woher weiß ich dann aber, ob es noch andere Nullstellen im Komplexen gibt, wie finde ich die dann heraus?
Im Reellen wäre der maximale Definitionsbereich ja

ℝ

ohne

{- 2}

für diese Funktion, im Komplexen dann auch

ℂ

ohne

{- 2},

dann wäre die Partialbruchzerlegung ja gleich. Oder gibt es noch weitere Ausnahmen?

Danke!

rundblick aktiv_icon

15:56 Uhr, 28.11.2015

{(x + 2)}^{2} = 0

"Woher weiß ich dann aber, ob es noch andere Nullstellen im Komplexen gibt,
wie finde ich die dann heraus?"

lustig:
was meinst du denn, wieviele Lösungen eine quadratische Gleichung haben kann?

nebenbei:
Partialbruchzerlegung

\to

- [\frac{x}{{(x + 2)}^{2}}] = - [\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}]

ok ?
.

abakus

15:58 Uhr, 28.11.2015

Jede ganzrationale Funktion n-ten Grades hat genau n komplexe Nullstellen (Mehrfachnullstellen sind entsprechend mehrfach zu zählen).
Wenn dein Nennerpolynom zweite Grades bereits zwei reelle (bzw. eine relle Doppel-) Nullstelle(n) hat, bleibt nichts mehr übrig für nicht-reelle Nullstellen.

anonymous

16:16 Uhr, 28.11.2015

Ja, die Partialbruchzerlegung hatte ich auch so (habe das Minus jedoch nicht ausgeklammert, sondern damit gerechnet), nur war ich nicht sicher, ob ich dann noch irgendetwas im Komplexen machen muss, aber jetzt habe ich verstanden, wieso nicht mehr bei dieser Funktion, danke @rundblick und auch für die gute Erklärung, @Gast62 ! :-)

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