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Periodizität rechnerisch beweisen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Periode, Periodizität, rechenweg

matheabcdef

18:29 Uhr, 29.01.2022

Wenn ich eine Funktion gegeben habe und allgemein beweisen möchte, dass diese Periodisch ist. Wie mache ich das rein rechnerisch auf einem allgemeinen Weg?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Sinusfunktion
Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

N8eule

18:33 Uhr, 29.01.2022

Wenn du eine Periode erkannt hast, dann lass uns der einmal einen Namen geben:

p

Dann sollte formal gelten:

f (x) = f (x + p)

matheabcdef

18:35 Uhr, 29.01.2022

Ok, danke!Das ist schon mal klar!
Aber wie komme ich überhaupt auf diese Periode p?

N8eule

18:39 Uhr, 29.01.2022

Na ja, jetzt wäre es vielleicht schon hilfreich, wenn du ein wenig zu verstehen gäbst, wie die Aufgabe, Hintergründe, Zusammenhänge und Vermutungen zur Periodizität für deine Aufgabe/Funktion lauten.
dann täten wir leichter zu verstehen, einzudenken, Ratschläge zu geben...

matheabcdef

18:47 Uhr, 29.01.2022

Ja klar!

Sagen wir ich ich hätte diese Funktionen und müsste für beide rechnerisch seperat bestimmen ob diese periodisch oder eben nicht sind.

1) f (x) =

sin(π/2*x)-cos(π*x)

2) g (x) = (2^{1 + x}^3 - 2^{1 - x}^3) \cdot (- 1 - x^{2})

N8eule

18:50 Uhr, 29.01.2022

1 .)

Welche Periodizität erwartest du denn naheliegenderweise für trigonometrische Funktionen?

zu

2 .)

Die plottest du am besten mal...

matheabcdef

18:56 Uhr, 29.01.2022

Naja, allgemein haben sin und

cos

Funktionen ja eine Periode von 2π..

N8eule

19:02 Uhr, 29.01.2022

Achtung - versuch dich in Präzision. Versuch dich eindeutig zu äußern: Was hat eine Periodizität von

2 \cdot π

N8eule

19:14 Uhr, 29.01.2022

Vielleicht fällt es schwer, meinen Gedanken zu verstehen, weil es mir schwer fällt, mich verständlicher zu machen.
Trigonometrische Funktionen zeigen periodische Funktionswerte, wenn das Argument der Funktionen (der Winkel) sich um

2 \cdot π

unterscheidet.

Was ist das Argument der sin-Funktion?
Wie lautet folglich deren Periode der Variablen?

Was ist das Argument der cos-Funktion?
Wie lautet folglich deren Periode der Variablen?

Respon

00:04 Uhr, 30.01.2022

\to

"Naja, allgemein haben sin und

cos

Funktionen ja eine Periode von

2 \cdot π

.."
Betrachte mal die Teile deines Funktionsterms getrennt und wende deine Erkenntnis an.

sin (\frac{π}{2} \cdot x) - cos (π \cdot x)

sin (\frac{π}{2} \cdot x) = sin (\frac{π}{2} \cdot x + 2 \cdot π) = sin (\frac{π}{2} \cdot x + \frac{4 \cdot π}{2}) = sin (\frac{π}{2} \cdot (x + 4))

Hier wäre also die Periode 4

cos (π \cdot x) = cos (π \cdot x + 2 \cdot π) = cos (π \cdot (x + 2))

Hier wäre also die Periode 2.

Die gemeinsame Periode bekommt man durch das kgV der Einzelperioden : kgV(4;2)

= 4

Ich vermute, die zweite Funktion soll so aussehen :

g (x) = (2^{1 + x^{3}} - 2^{1 - x^{3}}) \cdot (- 1 - x^{2})

Nullstelle(n) bestimmen.
Die zweite Klammer kann niemals den Wert 0 annehmen.

(2^{1 + x^{3}} - 2^{1 - x^{3}}) = 0 \Rightarrow x = 0

Weitere Nullstellen kann es nicht geben. Daher erübrigt sich die Frage nach der Periodizität.

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