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Polares Trägheitsmoment
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra, dicht, Funktion von Gesamtmasse, Kugel, Polares Trägheitsmoment
 
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Hallo liebe Leute des onlinemathe-forums. Da ich 3 Jahre kein Mathe hatte, jedoch nun im Masterstudium wieder damit konfrontiert bin, bin ich bei manchen Aufgaben sehr hilflos. Da ich jedoch am Freitag meine Matheprüfung schreibe bin ich über jegliche Art von Hilfe dankbar. Eine der problematischen Aufgaben wäre folgende: Berechnen Sie das polare Trägheitsmoment I einer Kugel mit dem Radius und konstanter Dichte "rho". Es gilt I = "Integral über Volumen" r² "rho" dV und stellen Sie das Ergebnis als Funktion von Gesamtmasse und Radius dar. Wie gesagt, bin ich leider selbst sehr hilflos bei dieser Aufgabe und würde mich über professionelle Lösungsvorschläge und oder Ansätze sehr freuen. Die original Angabe ist noch als .jpg-Datei angehängt, damit es zu keinen Verwirrungen bezüglich der Bezeichnungen kommt. Vielen Dank schon mal im Voraus. Ich zähle auf euch MfG Tobi Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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anonymous 13:09 Uhr, 17.03.2015 |
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Hallo Es gibt viele Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen. Je nach Vorliebe kann man 3-fach Integrale nutzen, 2-fach Integrale nutzen, 1-fach Integrale nutzen, karthesische Koordinaten nutzen, zylindrische Koordinaten nutzen, polare Koordinaten nutzen, und wahrscheinlich der Möglichkeiten noch viele mehr. Ich möchte dir einen Weg empfehlen, in dem ich die Aufgabe in Schritte unterteile. Ich empfehle, die Kugel gedanklich in dünne Kreisscheibchen zu unterteilen. Die Kreisscheibchen seien jeweils in Ebenen senkrecht zur Rotationsachse. Mach dir eine Skizze, um diesen Gedanken vor Augen und in Sicherheit zu rücken. Überlegen wir das Massenträgheitsmoment einer solchen Kreisscheibe. Geben wir den Bestimmungsgrößen der Kreisscheibe einen Namen. die Dicke sei: "h" der Kreisradius sei: "l" die Dichte kennen wir schon, sie sei: . Um das Massenträgheitsmoment der Kreisscheibe zu bestimmen: Mach dir eine neue Skizze, in dem du die Kreisscheibe in die Skizzenebene drehst. Dann hast du einen Kreis. Der Kreis lässt sich gedanklich in viele dünne Kreisringe unterteilen. Geben wir den Bestimmungsgrößen der Kreisringe einen Namen. die Dicke der Scheibe sei wie gesagt: "h" der Außenradius sei wie gesagt: "l" der Radius eines beliebigen dünnen Kreisrings sei: "k" die Radialausdehnung des dünnen Kreisrings sei: "dk" Wie groß ist das Volumen eines solchen dünnen Kreisrings? Wie groß ist die Masse eines solchen dünnen Kreisrings? Wie groß ist das Massenträgheitsmoment eines solchen dünnen Kreisrings? Wie groß ist das Massenträgheitsmoment der gesamten Kreisscheibe? Tipp: Dazu musst du einfach alle dünnen Kreisringe zusammenzählen, richtiger gesagt aufintegrieren. Ziehen wir Zwischenbilanz. Wir hatten die Kugel in Kreisscheiben unterteilt. Wir hatten die Kreisscheiben in Kreisringe unterteilt. Wir haben die Massenträgheitsmomente der Kreisringe zum Massenträgheitsmoment der Kreisscheibe zusammengefasst. Wir werden jetzt noch die Massenträgheitsmomente der Kreisscheiben zum Massenträgheitsmoment der Kugel zusammenfassen müssen und dürfen. Wie lautet die Formel für das Massenträgheitsmoment der (dünnen) Kreisscheibe? Jetzt wie gesagt: Wie groß ist das Massenträgheitsmoment der gesamten Kugel? Tipp: Dazu musst du einfach alle dünnen Kreisscheiben zusammenzählen, richtiger gesagt aufintegrieren. Und dir könnte wieder die Skizze helfen, die wir unter zur Veranschaulichung gemacht haben. "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." Gestatte, nein, es ist deine Hausaufgabe. Zeig mal, wie weit du kommst. Ich glaube, ich habe dir gute Tipps gegeben. Wenn du das systematisch machst, dann solltest du zum Ziel kommen. Oder zumindest so weit, dass du was zeigen kannst, und hier erklären kannst, wo do steckenbleibst. Dann helfen wir dir gerne weiter. Viel Erfolg! |
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anonymous 08:40 Uhr, 20.03.2015 |
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VierZweiNull schrieb mir am . eine persönliche Nachricht: " Hallo cositan, also zuerst möchte ich nochmal bei dir bedanken für deine Hilfestellung und deine ausführliche Herleitung und deine Mühen. Allerdings habe ich bei Punkt oder ausgesetzt. Ich habe jedoch eine fertige Herleitung gefunden, welche ich nun einfach auswendig lerne und mein Bestes versuche. Wie gesagt, es geht mir nicht darum diese Thematik zu verstehen oder zu hinterschauen, ich möchte einfach nur eine in der morgigen Prüfung schaffen und damit Mathe (hoffentlich) für immer hinter mich lassen, zumindest die vertiefende Mathematik. Dies ist auch der Grund, weshalb ich nach einer fertigen Antwort gesucht habe ;-) Naja tut mir Leid, dass ich mich erst jetzt so spät bei dir bedanke und mich bei dir melde, jedoch habe ich die letzten Tage etwas viel um die Ohren gehabt und nahezu keine Zeit gefunden. Also in diesem Sinne nochmals danke und einen schönen Abend. Sollte ich weitere Probleme in Mathe haben, bei denen es mir auch wieder mehr um Verständnis geht, werde ich mich bei dir melden, weil ich glaube, dass du es einem wirklich näher bringen könntest :-) Lg VierZweiNull " Lieber VierZweiNull Viel Erfolg für die Prüfung heute. Ein Kommentar zu "...nun einfach auswendig lerne...Wie gesagt, es geht mir nicht darum diese Thematik zu verstehen..." Ein Tipp: Wer nur auswendig lernt, der verlernt auch wieder. Und - ohne dir Angst machen zu wollen - der wird seine Matheprüfung und Studium nicht bestehen. Aus der Zeitnot in diesen wenigen Tagen ist natürlich nicht mehr mehr drin, als auswendig lernen zu lernen. ABER - mein dringender Rat: Bemühe dich nicht nur um auswendig lernen, sondern bemühe dich darum, es zu verstehen! Ich erläutere meinen Nachhilfeschülern immer: Wer auswendig lernt, der vergisst auch wieder. Überleg dir mal: Wie viele Gedichte musstest du in der Grundschule auswendig lernen? Und wie viele weißt du noch? Richtig - es waren wohl so ein Dutzend Gedichte. Und auch ich weiß kein einziges mehr davon. Schlichtweg, nach einer kurzen Zeit ist das, was man auswendig lernt wieder vergessen. In der Grundschule haben wir auch das Ein-mal-Eins auswendig gelernt. Kannst du dich erinnern, wie wir auswendig lernten: . Wir beide haben uns mühsam durch diese Zeit des auswendig Lernens durchgeplagt. Irgendwann sind wir beide über das Niveau des Auswendig Lernens hinausgewachsen und haben verstanden, wie es geht. Aus diesem Verständnis heraus ist es heute nicht mehr so schlimm, wenn ich das Auswendiggelernte mal länger nicht mehr brauche und vergesse. Wenn ich heute die Aufgabe habe, vielleicht weiß ich es noch aus den Gehirngängen (auswendig), wenn ich hingegen unsicher bin, dann rechne ich einfach nach, ich weiß ja wie es geht - ICH HABE ES VERSTANDEN. Und dieses Verständnis ermöglicht mir, mich zu kontrollieren, mir Sicherheit zu gehen und Aufgaben zu lösen, die komplexer sind, als die, die ich auswendig gelernt habe. Ich kann heute auch im Kopf rechnen, ich brauche nur ein wenig Zeit dazu, mit Papier und Bleistift rechnen, ich brauche nur ein wenig Zeit dazu - UND, bin mir sicher, dass ich das nie geschafft hätte, wenn ich nur auswendig gelernt hätte. Denn wann in aller Welt hätte ich die langen Reihen . und . auswendig lernen sollen? ERGO: Wer auswendig lernt, der wird auch wieder vergessen. (und wird früher oder später verwechseln und scheitern.) Wer Verständnis sucht und verstanden hat, dem schadet es nicht, wenn er wieder was vergisst. Er kann es sich wieder herleiten. Wer Verständnis sucht und verstanden hat, der kann aus diesem Verständnis heraus sich an komplexere Aufgaben machen, als die auswendig gelernten. Erinnere dich: Wie sahen die Formelsammlungen in der 7. Klasse aus? Da stand drin: Gegenkathete / Hypothenuse In der 7. Klasse musstest du das auswendig lernen. Irgendwann hast du es hoffentlich kapiert verstanden. Was nützt dir die Formelsammlung jetzt noch? Richtig! Nichts mehr. Denn aus dem Verständnis heraus hast du gelernt, es zu nutzen, Sicherheit zu gewinnen, auf komplexere Aufgabenstellungen zu übertragen. Wer Massenträgheitsmomente auswendig lernt, der wird dieses auswendig Gelernte wieder vergessen. Wer sich um Verständnis für Massenträgheitsmomente bemüht, der wird hoffentlich bald Verständnis erlangen, und die Formeln vielleicht wieder vergessen. Aber er wird sie sich jederzeit wieder herleiten können und die Sicherheit gewinnen, sie auch auf beliebige, komplexere Aufgabenstellungen anzuwenden. Wer Mathe und Massenträgheitsmomente auswendig lernt, der wird nur Aufgabentypen lösen können, die in den Rahmen des auswendig Gelernten passen. (siehe oben: Wer Mathe und Massenträgheitsmomente verstanden hat, der wird auch komplexere Aufgaben lösen können, die über das auswendig gelernte hinaus gehen. (siehe oben: Und, Prüfer sind unendlich erfindungsreich darin, Prüfungsaufgaben zu erfinden, die ein wenig komplexer sind, als die Hausaufgaben zum Einsteigen. Weil es nun mal die Aufgabe der Prüfer ist, Studenten zum Verständnis zu führen und dieses Verständnis zu prüfen. Sinn des Studiums ist, Verständnis zu erlangen. Sonst wären die Studiums-Abschließer in der Lage, schon gelöste Mathematikprobleme auswendig nochmals zu lösen. Sonst wären Ingenieure in der Lage, schon konstruierte Maschinen auswendig zu kennen - aber nicht, neue bessere Maschinen zu konstruieren. Sorry für diesen langen Monolog. Ich habe ihn gerne hier ins Forum geschrieben, in der Hoffnung, dass ihn VIELE lesen. Nochmals - viel Erfolg für deine Prüfung! |
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anonymous 08:41 Uhr, 20.03.2015 |
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sorry - Doppel - gelöscht |
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