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Polarkoordinaten Fläche

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

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17:00 Uhr, 18.08.2016

Hallo

Ich hab hier zwei Aufgaben, bei denen man die Fläche zwischen den In Polarkoordinaten definierten Kurven und der x-Achse bestimmen soll. Kann bitte jemand darüberschauen, und mir sagen ob das stimmt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

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18:15 Uhr, 18.08.2016

. .

Roman-22

18:29 Uhr, 18.08.2016

Gerechnet ist das erste Beispiel es richtig, aber du hast nur die Fläche im ersten Quadranten berechnet, da

φ

nur bis

\frac{π}{2}

läuft. Also den Inhalt jener Fläche, die von Kurve x-Achse UND y-Achse begrenzt wird. Ob das so verlangt war, kann man mangels Angabe nicht feststellen.

Die zweite Aufgabe ist falsch, Da gehts in der vorletzten Zeile ziemlich durcheinander.

R

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18:35 Uhr, 18.08.2016

Hier sind die Aufgabenstellungen.

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18:35 Uhr, 18.08.2016

Hier sind die Aufgabenstellungen.

Roman-22

18:42 Uhr, 18.08.2016

>

Hier sind die Aufgabenstellungen.
Dann ist die erste 8er Aufgabe richtig gelöst (man könnte noch

\frac{1}{8}

ausklammern).

Die zweite Aufgabe ist formal falsch. Da fehlt immer wieder das

d φ!

Und dein

\sqrt{2}

hast du dann eh auf

\sqrt{φ}

ausgebessert.

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18:46 Uhr, 18.08.2016

Tatsächlich? Woher hast du denn die obere Grenze 2√2 ?

Roman-22

18:47 Uhr, 18.08.2016

Sorry - war Unfug und ist schon ausgebessert. Dein Ergebis

π^{2}

ist schon OK.
Nur formal fehlte öfter das Differenzial

d φ

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18:47 Uhr, 18.08.2016

Formal falsch? Heisst das das Ergebnis stimmt oder wie soll ich das verstehen?

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18:48 Uhr, 18.08.2016

Ok :-)) ich weiss auch nicht woher die √2 kam
Das Formale werd ich korrigieren. Danke!

Roman-22

18:49 Uhr, 18.08.2016

Ja, Ergebnis ist richtig. Siehe oben.

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18:52 Uhr, 18.08.2016

Ich hab hier noch eine Aufgabe, bei der man eine Skizze zeichnen sollte (die ich wahrscheinlich falsch hab) könntest du mal drüber schauen? Aufgabe 8

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18:55 Uhr, 18.08.2016

Oh neeeiiiiiin . Ich hab anstelle von

3 P 5 P

genommen. Ich dummkopf

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18:55 Uhr, 18.08.2016

ofer Moment. Das ist doch richtig.

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18:57 Uhr, 18.08.2016

Dachte schon ich hätte was falsch gemacht

:' - D

Roman-22

19:01 Uhr, 18.08.2016

>

Dachte schon ich hätte was falsch gemacht

:' - D

Du dachtest richtig!

3 \cdot 2 = 6,

nicht 5 ;-)

Und die Skizze ist ja hoffentlich nicht dein Ernst! So etwas abzuliefern solltest du dich weiß Gott nicht getrauen. Auch wenns nur eine grobe Skizze sein soll.
Achsen und Ursprung gehören in jedem Fall beschriftet und ganz wichtig ist auch die Skalierung auf den beiden Achsen. dann noch 1 oder zwei Zwischenpunkte zwischen Anfang und Ende im Kopf überschlagsweise berechnen und du solltest erkennen, dass dein Kurvenverlauf auch qualitativ wenig taugt.

x (0) = 1

x (\frac{π}{3}) \approx 12

Fällt dir da was auf, wenn du das mit deiner "Skizze" vergleichst?

R

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19:07 Uhr, 18.08.2016

Stimmt. Beim Potenzieren wird multipliziert.
Zur Skizze. Mein Prof hatte bei einer ähnlichen Aufgabe ( nur mit

e^{4} P)

genau so eine Skizze gezeichnet :-D) :-D) ich weiss nicht wie die sonst aussehen soll

Roman-22

19:20 Uhr, 18.08.2016

>

ich weiss nicht wie die sonst aussehen soll
Sie fängt wegen

x (0) = 1

und

y (0) = 0

bei

(1 / 0)

an. Geht dann aber, und auf das wollte ich hinaus, fast um das 12-fache weiter nach rechts (bei phi=60°) und nicht gerade hinauf, so wie du das gezeichnet hast. Na und wo die Kurve die y-Achse schneidet kannst du dir ja leicht mit

y (\frac{π}{2})

ausrechnen und dann entsprechend skalieren.
Ich kann mir kaum vorstellen, dass eine Skizze, so wie du sie da gemacht hast, bei einer Klausur irgendwelche Punkte Wert ist.

Jetzt beim Üben kannst du ja auch zur Kontrolle irgendeinen Funktionsplotter zu Rate ziehen.
Bei der Skizze müssen ja nicht beide Achsen gleich skaliert sein, so wie das im Anhang links so einigermaßen der Fall ist. Es kann auch so aussehen wie rechts. Hauptsache der Nullpunkt ist beschriftet und ein Wert auf jeder Achse skaliert. Im Gegensatz zum Anhang sollten die Achsen auch noch beschriftet sein ;-)

Wenn du dir die Zeichnungen ansiehst so verstehst du vl auch, warum mir die Formulierung der Abgabe, dass es um die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse geht, nicht besonders gut gefällt. Die Fläche die da berechnet wird wird von Kurve. x-Achse UND y-Achse begrenzt, aber ich würde nicht einfach sagen, dass sie zwischen Kurve und x-Achse liegt.

R

ACHTUNG!!! Eben fällt mir beim Angabe lesen erst auf, dass hier

y = x

eine Begrenzung der zu berechnenden Fläche sein soll!! Also zurück zum Start!

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19:28 Uhr, 18.08.2016

Ich danke dir ;-)

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19:32 Uhr, 18.08.2016

: |

Schreib sowas lieber als neuen Beitrag..

Roman-22

19:32 Uhr, 18.08.2016

Du musst nur die obere Grenze für

φ

ändern, denn die ist jetzt nicht mehr

\frac{π}{2}

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19:34 Uhr, 18.08.2016

Nein das war bei den ersten beiden Aufgaben anders.. Da war es die x-Achse

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19:36 Uhr, 18.08.2016

Nicht

\frac{Π}{2}

sondern?

ledum aktiv_icon

19:44 Uhr, 18.08.2016

Edit; sorry ich hatte Pause gemacht und die anderen posts nicht gelesen.
Hallo
in der ersten der 2 aufgaben muss ein Fehler sein, da die Kurve nur eine Fläche zwischen sich und der

y -

achte einschliesst.denn ˜p/2 hört an der

y -

Achse auf. (siehe Bild.
ausserdem fängt

r

nicht bei 0 sondern bei 1 an. wegen

e^{2 \cdot 0} = 1

endlich rechnet man die Fläche einer Kurve in Polarkoordinaten mit

A = \int_{φ_{0}}^{φ_{1}} \frac{1}{2} r^{2} (φ) d φ

aus.wobei

\frac{1}{2}

r*rd\phi der infinitesimale Flächeninhalt der Dreiecke unter der Kurve ist.
zweite Rechnung ist richtig.
Gruß ledum

Roman-22

19:46 Uhr, 18.08.2016

Ja, bei den ersten AUfgaben war es anders formuliert, aber bei der letzten eben nicht.
mach dir klar, dass du mit deinem Doppelintegral ja ohnedies bei Polarkoordinaten immer "nur" eine Sektorfläche berechnest. Dass sich das bisher so schön ausgegangen ist, dass es gleichzeitig eben die Fläche war, die von

x

und y-Achse begrenzt war. lag ja nur an den spiziellen Grenzwinkeln 0 und

\frac{π}{2}

(bzw.

π)

.
Jetzt soll also die erste Mediane

y = x

Grenze spielen. Welchen Winkel würdest du denn da veranschlagen?

Roman-22

19:51 Uhr, 18.08.2016

@ledum
Das mit

\frac{π}{2}

ist schon OK.
Die Angabe wurde später nachgereicht und da ist die Grenze

\frac{π}{2}

vorgegeben. Die Formulierung "zwischen Kurve und x-Achse hab ich weiter oben bereits moniert.

Und dass

r

ab 0 läuft ist auch OK. Wir berechnen ja eine Sektorfläche. Da läuft erst außen der Winkel von einem Anfangs- zu einem Endwert und entlang des Polstrahls wird dann über

r

von 0 bis zur Kurve integriert.

P . S . :

Deine Zeichnung ohne Beschriftung und Skalierung ist kein gutes Vorbild ;-)
Siehe meine Anmerkungen dazu weiter oben. Auch die Zeichnung gibts dort schon.

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19:53 Uhr, 18.08.2016

45

grad oder

\frac{π}{4}

Roman-22

19:54 Uhr, 18.08.2016

> 45

grad oder π/4
So ist es. Du musst also in deiner Rechnung nur die

\frac{π}{2}

gegen

\frac{π}{4}

ersetzen.

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19:56 Uhr, 18.08.2016

Alles klar! Mach ich :-)

ledum aktiv_icon

19:57 Uhr, 18.08.2016

Hallo
danke Roman, dass du schneller warst hab ich schon gemerkt und sorry gesagt, da ich direkt wie üblich die Dreiecksflächen addierem kommes nicht auf die Grenzen von