Polgrade mit Vorzeichenwechsel

polgerade ist praktisch ne pseudogerade auf einem x-wert, nämlich dem deiner definitionslücke. und vorzeichenwechsel graphisch bedeutet nichts anderes als ein "kommen von" der funktion. heißt wenn die funktion an der polstelle von oben kommt und wieder nach oben geht haste eine polstelle (polgerade) ohne vorzeichenwechsel (analog dazu wenn von -unendlich und -unendlich)

kommt die funktion bsp von unten (-unendlich) und geht nach der polstelle direkt wieder von oben (+ unendlich) los, haste eine polstelle mir vzw (worzeichenwechsel)

jetzt gibts noch die sogenannte ordnung. das ist einfach die vielfachheit der nullstelle, wenn es ne doppelte nullstelle im nenner ist, ist es eine polstelle 2. odrnung.

jetzt haste also bei einer gebr. rat. funktion mehrere definitionslücken, bei denen du jetzt erstmal prüfen musst, ob es eine hebbare lück ist oder nicht.

wenn nicht dann musst du noch überprüfen und am ende angeben was für eine.

dann schreibste meistens einen satz der folgendermaßen aussieht:

x=1 ist polstelle 4. ordnung mit VZW

x=3 ist polstelle 1. ordnung ohne VZW

x=1 ist polstelle 1. ordnung mit VZW

für deine funktion bedeutet das jetzt konkret:

D = ${\displaystyle \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ \ {-9 ; 0}  (f ist unecht gebrochen)

jetzt schause dir den grenzwert der einzelnen definitionslücken an.

 ${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to -9}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\frac{\mathrm{x³<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}{\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+9\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$= -${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ von links (also für zb -9,1) und +${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ von recht (also für zb -8,9)

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\frac{\mathrm{x³<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}{\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+9\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$= -${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ von links (also zb für -0,1) und +${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ von rechts (also für zb 0,1)

also ist x=-9 Polstelle 1. Ordnung mit VZW

und x=0 Polstelle 1. Ordnung mit VZW

hab die funktion mal gezeichnet und für die polstelle 0 kannste hier mal sehen 

http//img340.imageshack.us/img340/9342/fktfl5.jpg

[sry, ich bekomm das mit dem bild hier posten nicht hin, nichtmal das mit dem link klappt, kannste mir verraten, wie ich das bild hier direkt poste?]

jetzt heißt hier -${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ von links und +${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ von rechts, dass je näher ich an die polstelle von links komme, der y-wert der funktion -${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ wird und je näher ich von rechts an die polstelle herangehe der y-wert der funktion +${\displaystyle \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ wird.

eins noch: hast jetzt im nenner zb x²+4x+4 stehen, kannste das ja als (x+2)² schreiben. somit haste bei -2 ne polstelle 2. ordnung (mit oder ohne VZW)

nein, wir haben die 0 und die -9 die sind jweils nur einfach.

wenn da im nenner zb (2-x)² stünde hätten wir eine doppelte nullstelle, also ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1,2}=2}$

dann wäre es eine polstelle 2. ordnung. (es kommt also immer auf die "vielfachheit" der nullstelle an)

hab ich aber oben irgendwo geschrieben.

no problem.