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Polynom, Nullstellen nxn-Matrizen

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Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Determinanten, Eigenwert, Matrizenrechnung, nxn-Matrizen

D2109 aktiv_icon

14:06 Uhr, 22.01.2015

Hallo liebe Helfer,

meine zu bearbeitende Aufgabe lautet:

Sei

n \in ℕ

und

A := (a_{i k})

sei eine

n

n

-Matrix mit

a_{i k} = 1

für

i \neq k

und

a_{i i} = x

für alle

i = 1, . . ., n

. Bestimmen Sie folgendes Polynom und dessen Nullstellen:

f (x) := d e t (A)

Wie muss ich bei dieser Aufgabe denn genau anfangen? Was gehört alles zur Lösung dazu?
Und sieht die Matrix irgendwie so aus?

(\begin{array}{rcl} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Bummerang

14:08 Uhr, 22.01.2015

Hallo,

"Wie muss ich bei dieser Aufgabe denn genau anfangen?"

Na so, wie es da steht!

"Bestimmen Sie folgendes Polynom

. .

. :

f(x):=det(A)"

"Und sieht die Matrix irgendwie so aus? ..." - Genau so!

Wowo55 aktiv_icon

14:15 Uhr, 22.01.2015

Also ich würde sagen die Matrix sieht so aus, ja.
Ich würde mir die Matrix auch so in verschiedenen Größen hinmalen. Die Determinante von

2 x 2

und

3 x 3

Matrizen kannst du ja recht schnell berechnen. Ich würde bis

4 x 4

gehen, einmal eben nach einer Zeile/Spalte entwickeln und dann bei der

3 x 3

eben wieder mit dieser Diagonalen-Regel (Ich weiß leider nicht wie die heißt) die Determinante ausrechnen mit dem Vorfaktor... und wenn du dann die 3 Beispiele hast, lässt sich doch bestimmt ein Muster erkennen, wie die Determinanten sich errechnen. Und das dann eben in abhängigkeit von einer variablen(also wenns eine nxn matrixsein soll, dann in abhängigkeit von

n)

aufschreiben. Also wenn ich das richtig verstehe, ist

f (x)

einfach so eine Art Rekursionsformel... reicht dir die Erklärung für das "wie man da anfangen" muss?

D2109 aktiv_icon

14:25 Uhr, 22.01.2015

Vielen Dank dafür, dass jemand meine Frage doch noch richtig verstanden hat.

Hier geht es ja um allgemeine Matrizen mit dem Grad

n

. Ich kenne aber nur Beispiele von z.B.

3

3

-Matrizen...

Das Polynom bestimmt man ja durch

d e t (A - t \cdot E_{n})

. Sieht die Matrix, wie sie beschrieben ist, denn nun so aus, oder nicht?

(\begin{array}{rcl} x & 1 & 1 & . & . & . & 1 \\ 1 & x & 1 & . & . & . & 1 \\ 1 & 1 & x & . & . & . & 1 \\ 1 & 1 & 1 & . & . & . & x \end{array})

Gut, dann fange ich mal mit

2

2

und

3

3

Matrizen usw an.. soll ich da Buchstaben einfügen oder irgendwelche Zahlen oder was soll ich als Koeffizienten einfügen?

Wowo55 aktiv_icon

14:47 Uhr, 22.01.2015

jetzt versteh ich dich nicht ganz 100%ig...
aber ich schreib dir das mal so wie ich meinte:

also 1. (wie schreibt man hier matrizen? xD)

x 1

1 x

Die Determinante ist:

x^{2} - 1 \cdot 1 = x^{2} - 1

x 11

1 x 1

11 x

Die Determinante ist:

x^{3} + 1 + 1 - x - x - x = x^{3} + 2 - 3 x

x 111

1 x 11

11 x 1

111 x

Also und hier jetzt entwickeln (da muss man auf Vorzeichen achten)
ich nehm jetzt mal die erste spalte:

x \cdot (x^{3} - 3 x + 2) - 1 \cdot

[

Matrix

a] + 1 \cdot

[

Matrix

b] -

[

Matrix

c]

Matrix a entsteht durch das wegstreichen der ersten Spalte und der 2. Zeile:

111

1 x 1

11 x

Davon ist die Determinante:

x^{2} + 1 + 1 - 1 - x - x = x^{2} + 1 - 2 x

Matrix

b

durch wegstreichen der ersten Spalte und 3. zeile:

111

x 11

11 x

Determinante davon ausrechnen, und für matrix

c

dasselbe
Die Determinanten setzt du dannin diese Formel ein

"x

\cdot (x^{3} - 3 x + 2) - 1 \cdot

[

Matrix

a] + 1 \cdot

[

Matrix

b] -

[

Matrix c]" (Siehe oben)
und so hast du eben die Determinanten für

n = 1, 2, 3

und 4
und kannst dann vielleicht darauf schließen wie die Determinante für

n

aussieht

D2109 aktiv_icon

14:53 Uhr, 22.01.2015

Okay vielen Dank !!

Wie man entwickelt hab ich auch schon gelernt, hab ich sogar auch ne Aufgabe dazu gemacht :-)

Matrizen schreibst du wenn du auf "Welche LaTex-Befehle werden unterstützt?" klickst und dann den Code für Matrix kopierst haha :-)

Also ich probier es jetzt mal... dann schreib ich nochmal :-) Also für

n

n

würdest du mir auch Entwicklung empfehlen, oder?

Wowo55 aktiv_icon

15:22 Uhr, 22.01.2015

oh :-D)
also für nxn würde ich gar nicht entwickeln... ich würde aus den ersten 4 Determinanten versuchen das "herauszulesen"
also

z . b

. (das hat jetzt nichts mit der aufgabe zu tun):

1 : x

2 : 2 x^{2} + 1

3 : 3 x^{3} + 2

. .

n :

nx^n+(n-1)
einfach aus gegebenen Beispielen was allgemeines machen^^
(sorry ich weiß nicht, wie ich das anders erklären soll)

D2109 aktiv_icon

15:24 Uhr, 22.01.2015

Aaaahhh jetzt weiß ich was du meinst !! Du hilfst so super daaaanke dir :-)

Ich schreib dir dann die Lösung die ich herausbekomme ok? :-)

D2109 aktiv_icon

16:20 Uhr, 22.01.2015

..Ok jetzt hänge ich irgendwie... für die

2

2

Matrix hab ich die Determinante

x^{2} - 1

raus.
Für die

3

3

Matrix

x^{3} - 3 x + 2

, genauso wie du.

Für die

4

4

Matrix hab ich

x^{4} - 2 x^{2} + 1

. Hoffe hab mich da nicht großartig verrechnet, hab zumindest keinen Fehler gefunden auf dem ersten Blick...

Sicherheitshalber hab ich noch die

5

5

Matrix berechnet. Da kam raus:

x^{5} - 5 x + 4

...

Muss ich da etwa unter geradem und ungeradem

n

unterscheiden?

ledum aktiv_icon

00:10 Uhr, 23.01.2015

Hallo
eine

det

mit so vielen Einsen muss man vereinfachen, bevor man sie ausrechnet
dazu gibt es viele Möglichkeiten, (Zeilenaddition ändert den Wert einer

det

nicht)-
also addiere ich zu der letzten Zeile alle anderen
dann steht in der letzten Zeile an jeder Stell

(n - 1) + x

diesen Faktor kann man aus der

det

rausziehen also hat man jetzt die letzte Zeilr lauter 1 und den Faktor

(n - 1 + x)

vor der

det

.
jetzt kann man die letzte Zeile von allen anderen abziehen,
bleibt in jeder Zeile nur eine

x - 1

stehen, der Rest ist 0
wieder aus jeder Zeile

x - 1

ausklammern insgesamt also

{(x - 1)}^{n - 1}

fertig!die restliche

det

mit letzter zeile 1 sonst

1

in der diagonale schaffst du sicher!
anderer Wef

1 Z - 2, Z 2 . Z - 3

Z

usw führt auch zum Ziel.

Gruß ledum

Respon

00:46 Uhr, 23.01.2015

Es ergibt sich folgende Gesetzmäßigkeit:

n = 1 \Rightarrow det (M) = x = {(x - 1)}^{0} \cdot (x + 0)

n = 2 \Rightarrow det (M) = x^{2} - 1 = {(x - 1)}^{1} \cdot (x + 1)

n = 3 \Rightarrow det (M) = x^{3} - 3 \cdot x + 2 = {(x - 1)}^{2} \cdot (x + 2)

... .

.
Für

n

gilt daher

det (M) = {(x - 1)}^{n - 1} \cdot (x + n - 1)

Bummerang

09:10 Uhr, 23.01.2015

Hallo,

eine solche Gesetzmässigkeit wäre aber auch zu beweisen! Dass sie für die ersten drei Elemente gilt, ist kein Beweis. Warum ist ausser ledum eigentlich keiner mal auf die Idee gekommen, die Gesetze der Determinantenberechnung hier anzuwenden? Hier die Herleitung der Formel (etwas anderer Weg als der von ledum):

Sei

M

eine

n \times n -

Matrix mit den geforderten Eigenschaften für die Elemente, also

M = (\begin{matrix} x & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & \dots & 1 & 1 & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & \dots & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & x \end{matrix})

Dann gilt für die Determinante

det (M) = | \begin{matrix} x & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 & \dots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & x & \dots & 1 & 1 & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & \dots & x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & x \end{matrix} |

dass Gaußsche Zeilenschritte die Determinante nicht verändern. Deshalb ziehen wir mal die letzte Zeile von allen anderen Zeilen ab:

det (M) = | \begin{matrix} x - 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 - x \\ 0 & x - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 - x \\ 0 & 0 & x - 1 & \dots & 0 & 0 & 1 - x \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x - 1 & 0 & 1 - x \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x - 1 & 1 - x \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & x \end{matrix} |

Wenn man zwei Matrizen A und

B

hat, und sich

B

aus A ergibt, indem alle Elemente einer Zeile

k

von

B

das c-fache der entsprechenden Zeile in A sind und alle anderen einander entsprechenden Zeilen von A und

B

identisch sind. dann gilt

det (B) = c \cdot det (A)

. Das machen wir uns in

M

zu nutze, indem wir

c = x - 1

wählen und Zeile für Zeile die ersten

n - 1

Zeilen abarbeiten:

det (M) = (x - 1) \cdot | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & x - 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 - x \\ 0 & 0 & x - 1 & \dots & 0 & 0 & 1 - x \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x - 1 & 0 & 1 - x \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x - 1 & 1 - x \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & x \end{matrix} |

det (M) = {(x - 1)}^{2} \cdot | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & x - 1 & \dots & 0 & 0 & 1 - x \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x - 1 & 0 & 1 - x \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x - 1 & 1 - x \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & x \end{matrix} |

det (M) = {(x - 1)}^{3} \cdot | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x - 1 & 0 & 1 - x \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x - 1 & 1 - x \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & x \end{matrix} |

. .

det (M) = {(x - 1)}^{n - 2} \cdot | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x - 1 & 1 - x \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & x \end{matrix} |

det (M) = {(x - 1)}^{n - 1} \cdot | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 & x \end{matrix} |

Jetzt führen wir noch

n - 1 -

Gaußsche Zeilenschritte durch, indem wir jede der ersten

n - 1

Zeilen ein Mal von der letzten Zeile abziehen. Dabei entsteht in der letzten Zeile beim Abzug der k-ten Zeile in der k-ten Spalte eine Null und in der letzten Spalte wird

(-)

abgezogen, also 1 addiert. Alle anderen Elemente der letzten Zeile bleiben im k-ten Schritt unverändert. Da

k

die Werte 1 bis

n - 1

durchläuft, erzeugen diese

n - 1

Schritte in den ersten

n - 1

Spalten der letzten Zeile jeweils eine Null und in der letzten Spalte der letzten Zeile wir

(n - 1)

Mal eine 1 addiert,

d . h

. es wird dort letztendlich das Element

x + (n - 1)

erzeugt. Zusammen ergibt das:

det (M) = {(x - 1)}^{n - 1} \cdot | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 & - 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & x + (n - 1) \end{matrix} |

Die so erzeugte Matrix hat Dreiecksform und die Determinante errechnet sich als Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen

det (M) = {(x - 1)}^{n - 1} \cdot 1^{n - 1} \cdot (x + (n - 1))

Das etwas umgeschrieben und die

1^{n - 1}

berechnet ergibt:

det (M) = {(x - 1)}^{n - 1} \cdot (x - (1 - n))

Dieses so dargestellte Polynom berechnet nicht nur die Determinante der Matrix, sondern man kann problemlos die Nullstellen ablesen:

(n-1)-fache Nullstelle 1 und einfache Nullstelle

(1 - n)

D2109 aktiv_icon

12:40 Uhr, 25.01.2015

Ich bedanke mich sehr für Eure große Hilfe, vor Allem ein riesengroßes Dankeschön an Bummerang für den letzten Kommentar !!!
Nun habe ich die Komplettlösung mathematisch korrekt auf meinem Blatt stehen und kann die Lösung getrost und ohne Sorgen abgeben. Plus 100%igem Verständnis!

Nochmals vielen lieben Dank, ihr seid echt toll :-)

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