Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Polynom in Linearfaktoren zerlegen

Polynom in Linearfaktoren zerlegen

Universität / Fachhochschule

Körper

Polynome

Tags: Körper, polynom

Froog

18:15 Uhr, 10.04.2018

Hallo,
kann mir jemand sagen, wie man das Polynom

p (t) := 2 t^{4} + t^{2} - 1

in Linearfaktoren über dem Körper

ℤ_{3}

zerlegt.
Ich hab da eine Lösung gefunden, bin mir aber gar nicht sicher, ob sie so stimmt und wenn ja warum.

p (t) := 2 t^{4} + t^{2} - 1 = 2 {(t^{2} + 1)}^{2},

2^{- 1} = 2

und

- 2 = 1

Ich weiß, dass für die komplexen Zahlen gilt:

p (t) := 2 t^{4} + t^{2} - 1 = 2 (t + i) (t - i) (t - \frac{1}{\sqrt{2}}) (t + \frac{1}{\sqrt{2}})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

DrBoogie aktiv_icon

18:24 Uhr, 10.04.2018

Sie stimmt, man kann es ausmultiplizieren und prüfen.
Aber sie hilft nicht, wenn Du lineare Faktoren brauchst. In lineare Faktoren kannst Du

2 t^{4} + t^{2} - 1

über

ℤ_{3}

offensichtlich nicht zerlegen, denn es hat keine Nullstellen.

Was haben komplexe Zahlen hier zu suchen, verstehe ich nicht.

ermanus aktiv_icon

18:26 Uhr, 10.04.2018

Hallo,
man kann

p

nur in irreduzible Faktoren von Grad 2 zerlegen,
nämlich genau so, wie du angegeben hast:

p (t) = 2 (t^{2} + 1)^{2}

.

Könnte man einen Linearfaktor abspalten, so müsste ja

p (0) = 0

p (1) = 0

oder

p (2) = 0

sein.

Gruß ermanus

Ah, DrBoogie war schneller :-)

Froog

18:34 Uhr, 10.04.2018

Kannst du mir vielleicht erklären, wie man da drauf kommt? wieso wird

\frac{1}{2} = 2

und

- 2 = 1

ermanus aktiv_icon

18:37 Uhr, 10.04.2018

Ich würde es so machen:

2 t^{4} + t^{2} - 1 = - t^{4} + t^{2} - 1 = - 1 (t^{4} - t^{2} + 1) = 2 (t^{4} + 2 t^{2} + 1) = 2 (t^{2} + 1)^{2}

ermanus aktiv_icon

18:42 Uhr, 10.04.2018

1 / 2

ist das Inverse zu

2

, d.h. dasjenige Element

x

,
für das

2 \cdot x = 1

ist. Nun ist aber

2 \cdot 2 = 4 = 1

, also

x = 2

.
Das Inverse von

2

ist also

2

.

Oder anders:

1 + 2 = 3 = 0

, also

2 = - 1

, also

1 / 2 = 1 / (- 1) = - 1 = 2

Froog

18:44 Uhr, 10.04.2018

Danke

1421824

1421814

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?