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Polynomfunktion mit Parameter

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Polynome

Tags: Extremstellen, Funktion, Parameter, polynom

Schorschiii aktiv_icon

12:49 Uhr, 14.07.2015

Hallo liebe Mathefreunde,

ich hänge gerade an einer Aufgabe aus der letzten Klausur (Zum Wiederholen).

Gegeben ist die Polynomfunktion fa(x)

fa(x)=

\frac{2}{a + 1}

x^3 - ax^2 + 6

(a) Bestimmen der lokalen Extremstellen von fa(x) (Überprüfung der notwendingen und hinreichenden Bedingung)

Meine bisherigen Lösungsversuche:

Lokale Extremstellen -> 1. Ableitung 0 setzen. Da hängts schon. Ich leite doch x ab, richtig?

ergo ->

\frac{6}{a + 1} x^{2} - 2 a x ?

(b) Für welche aER(-1) beträgt die Steigung der Tangente an den Graphen von fa an der Stelle x0=2 genau -42

-> die x0=2 in die Erste Ableitung einsetzen für x und dann nach a umstellen ?

(c) Betrachten Sie nun f1(x)
Weiter sei die Funktion g(x)=x^3+x^2+4x - 42 auf den reellen Zahlen definiert. Bestimmen sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen von f1 und g eingeschlossen wird.

-> Integralrechnung, also fa(x) - g(x) = q(x) -> Stammfunktion von q(x) .. weiter? =(

Liebe Grüße
Verzweifelter Student

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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Matheboss aktiv_icon

13:04 Uhr, 14.07.2015

a)

Deine Idee zu

a)

ist richtig, nur es fehlt die hinreichende Bedingung.

f_{a} (x) = \frac{2}{a + 1} \cdot x^{3} - a \cdot x^{2} + 6

für

a \in ℝ

{

-1}

Hinreichende Bedingung für Extremwerte

{f'}_{a} (x) = 0 \land f''_{a} (x) \neq 0

{f'}_{a} (x) = \frac{6}{a + 1} \cdot x^{2} - 2 \cdot a \cdot x

f''_{a} (x) = . .

b)

auch richtig

{f'}_{a} (2) = - 42

c)

Für das Integral brauchst Du die Grenzen der eingeschlossenen Fläche, also die Schnittpunkte der Graphen.

f_{1} (x) = g (x)

Edit zu

a)

Ich denke (habe es nicht gerechnet) wirst Du hier eine Fallunterscheidung für Extremwerte bezüglich dem Parameter a machen müssen

rundblick aktiv_icon

13:34 Uhr, 14.07.2015

.
kleine Ergänzung zu (a)

:

(a)

Bestimmen der lokalen Extremstellen von fa(x)

\to

du hast a noch nicht richtig gelöst ..
zwar schreibst du richtig->

"Lokale Extremstellen

\to 1

. Ableitung 0 setzen. "

\to

das hast du aber nicht durchgeführt .

nebenbei: vermutlich soll das , was du nach deinem "ergo"
notiert hast die erste Ableitung sein? ja?

\to

dann schreib das als Gleichung auch hin!
und berechne nun die möglichen Werte für

x,

für die

f' = 0

sein wird.

und für diese Werte kannst du die zweite Ableitung dann genauer anschauen

usw..
.

Schorschiii aktiv_icon

13:46 Uhr, 14.07.2015

Hier fa`(x) = 0

6*x^2 - 2*a*x(a+1) = 0
6x^2 - 2a^2x - 2ax = 0 / :6
x^2 - 1/3a^2x - 1/3ax = 0

x(x- 1/3a^2 - 1/3a)

x0 = 0
x1 = 1/3a^2 + 1/3a

Richtig?

Schorschiii aktiv_icon

13:56 Uhr, 14.07.2015

Jetzt hänge ich bei der Aufgabe (2)

Fa`(2) = - 42

6/a+1*2^2 - 2*a*2 = -42
24/a+1 - 4a = - 42
24/a+1 - 4a^2 -4a = -42
-4a^2 -4a = - 66

und nu?

rundblick aktiv_icon

14:04 Uhr, 14.07.2015

.

Richtig?

\to

Ja :

mögliche Extrema bei :

x_{1} = 0

x_{2} = \frac{a \cdot (a + 1)}{3}

warum machst du nicht weiter? .. Art der Extrema und so..?

__{_}__{_}__{_}__{_}

Jetzt hänge .."

Fa

(2) = - 42

\frac{6}{a} + 1 \cdot 2^{2} - 2 \cdot a \cdot 2 = - 42

\frac{24}{a} + 1 - 4 a = - 42 ... ... ... ... . .

. das wäre NOCH richtig (bis auf die fehlende Klammer!)

und nu?

... ...

. mach

ν

nochmal weiter

,,

beide Seiten mal

(a + 1) .

\Rightarrow

Schorschiii aktiv_icon

14:23 Uhr, 14.07.2015

fa`(2) = -42

24/a+1 - 4a = -42
24 - 4a = -42a - 42
38a = -66
a = 1,74 ?

:/ sorry wenn ich so lahm bin..

rundblick aktiv_icon

14:36 Uhr, 14.07.2015

.
sorry - das ist gleich wieder falsch

du musst auch das

\to - 4 a .

. das auf der linken Seite als zweiter Summand
herumsteht - mit dem Faktor

(a + 1)

beglücken..

\to

wenn du nun alles richtig machst, wirst du am Schluss dann
eine in a quadratische Gleichung erhalten ..

viel Glück

Schorschiii aktiv_icon

15:06 Uhr, 14.07.2015

-4a^2 - 4a = -66 /+66 ; :(-4)
a^2 + a - 16,5 = 0

-0,5 +/- WURZEL(16,75) / Wurzel = 4,09

= -0,5 + 4,09 = 3,59 TP
= -0,5 - 4,09 = -4,59 HP

?

rundblick aktiv_icon

15:16 Uhr, 14.07.2015

f_{a}' (2) = - 42

\frac{24}{a + 1} - 4 a = - 42

\to

kann es sein, dass du nicht lesen kannst?

\to

du hast die

- 4 a

wieder nicht multipliziert

vielleicht wird es dir klarer, wenn du die Gleichung zuerst so schreibst

\to

\frac{24}{a + 1} = (4 a - 42)

und jetzt

\to

beide Seiten mal

(a + 1) \to

..

und ausserdem geht es bei diesem Teil der Aufgabe nicht um Extrema
sondern um die Kurven der Schar, die bei

x = 2

mit

- 42

steil abfallen..
Tipp: gelegentlich den Aufgabentext lesen ..
.

Matheboss aktiv_icon

15:19 Uhr, 14.07.2015

gelöscht!

rundblick ist wieder da.

rundblick aktiv_icon

15:23 Uhr, 14.07.2015

.
ja , lieber Matheboss, dem Rundblick hats gelöscht..

\to

mach bitte du weiter
.

Matheboss aktiv_icon

15:33 Uhr, 14.07.2015

nach rundblick

\frac{24}{a + 1} = (4 \cdot a - 42) | (a + 1)

24 = 4 \cdot a^{2} - 42 \cdot a + 4 \cdot a - 42

jetzt kommst Du wohl klar, oder?

Edit

Dein Teil(a) ist noch nicht fertig!

Du musst mit der 2. Ableitung und Deinen Lösungen bestimmen, ob es Extremwerte sind und, wenn ja von welcher Art.

Schorschiii aktiv_icon

17:34 Uhr, 14.07.2015

Super, habe die richtigen Ergebnisse für Aufgabe 1 u. 2 :-) Verstanden habe ich es nun auch.

a= -3/2 und a=11

Danke dafür!

Allerdings hänge ich jetzt bei Aufgabe 3..

dort soll ich f1(x) betrachten.

Für den eingeschlossenen Graphen bzw. die Grenzen des Integrals, muss ich f1(x)=g(x) setzen. Dann habe ich die nötigen Nullstellen.

Dann f1(x) - g(x) = q(x) -> Stammfunktion und dann mit den gefundenen Grenzen, den gesuchten Flächeninhalt berechnen.

Mein Problem : Was ist f1(x)?! Ist die Ausgangsfunktion gemeint? fa(x)= 2/a+1*x^3 -ax^2 +6 ?

abakus

17:37 Uhr, 14.07.2015

Hallo,

f_{1} (x)

ist diejenige Funktion aus der Funktionenschar

f_{a} (x)

, bei der man für a den konkreten Parameterwert 1 gewählt hat.

rundblick aktiv_icon

18:00 Uhr, 14.07.2015

a = - \frac{3}{2}

und

a = 11 \to

nein, stimmt so nicht

ausserdem fehlt der Anntwortsatz

und

f_{1} (x)

ist diejenige Funktion der Schar

f_{a} (x),

die du bekommst,
wenn du für a den Wert 1 einsetzt

berechnen solltest du dann wohl das Integral

\to \int_{- 6}^{4} [f_{1} (x) - g (x)] d x

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