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Potenzen eines Endomorphismus

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Eigenwerte

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Eigenwert, Lineare Abbildungen, Vektorraum

MathsTom aktiv_icon

22:28 Uhr, 12.04.2014

Hallo liebes Forum,
gegeben sein ein Endomorphismus

f

auf einem VR

V

der endlichen Dimension

n

U_{l} := K e r f^{l}

für

l \in ℕ

.

Ich soll zeigen, dass es ein

k \in ℕ

gibt, sodass

U_{k} = U_{k + j}

für alle

j \in ℕ

gilt.
Hat vielleicht jemand einen Tipp, wie dieses

k

aussieht?

Ich denke, es wird auf

n = dim V

hinauslaufen.
Man kann leicht

U_{0} \subset . .

\subset U_{n}

zeigen.
Ich muss also nur zeigen: Ist

v \in U_{n + i},

dann folgt

v \in U_{n}, i \in ℕ

.

Kann mir da jemand helfen?

Liebe Grüße,
Tom

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

DrBoogie aktiv_icon

22:36 Uhr, 12.04.2014

"Man kann leicht

U_{0} \subset . . . \subset U_{n}

zeigen."

Ja, richtig, es geht sogar weiter:

U_{0} \subset . . . \subset U_{n} \subset U_{n + 1} \subset . . .

.
Aber wenn alle diese Inklusionen echt wären (also keine Gleichheiten), dann würden wir die entsprechenden Ungleichungen für Dimensionen haben:

0 < d i m (U_{1}) < . . . < d i m (U_{n}) < . . .

und das ist unmöglich, weil wir in einem endlichen Raum "leben", weshalb Dimension von oben (durch

n

) beschränkt sind. Also muss es ein

k

geben mit

U_{k} = U_{k + 1}

und dann gilt

U_{k} = U_{k + j}

für alle

j > 0

MathsTom aktiv_icon

23:12 Uhr, 12.04.2014

Hi!
Achso, also ist

k

nicht unbedingt die Dimension?

Gut :-)
Ich habe noch gezeigt:

f^{- 1} (U_{l}) = U_{l + 1}

und

f (U_{l}) \subset U_{l - 1}

.

Gezeigt werden soll noch:

{\bar{f}}_{l + 1} : U_{l + 1} / U_{l} \to U_{l} / U_{l - 1}

für

l \geq 1

sind wohldefinierte Homomorphismen von Vektorräumen.

Die Aufgabe verstehe ich nicht, ich weiß doch garnicht, was die Abbildung tut.

DrBoogie aktiv_icon

23:22 Uhr, 12.04.2014

"Achso, also ist k nicht unbedingt die Dimension?"

Natürlich nicht, wenn

f

- die Null-Abbildung ist, dann ist

k = 1

(wenn man minimales

k

wählt).

"Gezeigt werden soll noch:

{\bar{f}}_{l + 1} : U_{l + 1} / U_{l} \to U_{l} / U_{l - 1} f ü r l \geq 1

sind wohldefinierte Homomorphismen von Vektorräumen.

Die Aufgabe verstehe ich nicht, ich weiß doch gar nicht, was die Abbildung tut."

Muss man auch gar nicht. Es geht nur darum, zu zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist, dazu muss man keine exakte Werte wissen.
Gemeint ist Folgendes: wenn

x + U_{l}

und

y + U_{l}

zwei verschiedene Repräsentanten derselben Klasse aus

U_{l + 1} / U_{l}

sind, muss

{\bar{f}}_{l + 1} (x + U_{l}) = {\bar{f}}_{l + 1} (y + U_{l})

gelten, sonst wäre

{\bar{f}}_{l + 1}

nicht eindeutig definiert.
Genau dass muss man auch zeigen.
Dabei ist

{\bar{f}}_{l + 1}

definiert durch

{\bar{f}}_{l + 1} : x + U_{l} \to f (x) + U_{l - 1}

MathsTom aktiv_icon

23:27 Uhr, 12.04.2014

"Dabei ist

{\bar{f}}_{l + 1}

definiert durch

{\bar{f}}_{l + 1} : x + U_{l} \mapsto f (x) + U_{l - 1}

."

Das meine ich ;-) Wieso ist es genau so definiert? Klar,

f (x)

liegt in

U_{l},

aber kann man es nicht auch anders definieren?

DrBoogie aktiv_icon

23:30 Uhr, 12.04.2014

Ein induzierter Homomorphismus ist halt so definiert. Natürlich kann man auch andere Homomorphismen definieren, aber sie werden dann keine induzierte Homomorphismen.

MathsTom aktiv_icon

23:36 Uhr, 12.04.2014

Aber die Homomorphismuseigenschaft wird man dann ja auch noch nachweisen müssen.
Ich setze mich da morgen mal ran. Stehst du da noch für Fragen zur Verfügung? :-)

MathsTom aktiv_icon

10:53 Uhr, 13.04.2014

Mal ein paar Überlegungen zur Wohldefiniertheit.

{[]}_{1}

und

{[]}_{2}

bezeichnen die Klassen in

U_{l + 1} / U_{l}

bzw.

U_{l} / U_{l - 1}

.
Es ist

{[u]}_{1} = {[u']}_{1}

. Also ist

u' = u + w

für ein

w \in U_{l}

und

u, u' \in U_{l + 1}

. Die Klasse von

u

wird abgebildet in

{[f (u)]}_{2}

. Die Klasse von

u'

geht auf

{[f (u')]}_{2} = {[f (u) + f (w)]}_{2} = {[f (u)]}_{2} + {[f (w)]}_{2} = {[f (u)]}_{2},

f (w) \in U_{l - 1}

.

Ist das gemeint? :-)

DrBoogie aktiv_icon

11:06 Uhr, 13.04.2014

Ja, so geht das.

MathsTom aktiv_icon

11:28 Uhr, 13.04.2014

Ok, super.
Nun soll man zeigen dass die Dimensionen

dim U_{l} / U_{l - 1}

und die Ränge der Abbildungen

{\bar{f}}_{l + 1}

nur von den Ähnlichkeitsklassen von

f

abhängen, soll heißen dass ähnliche Endomorphismen die selben Zahlen liefern.

Hast du dafür einen Tipp für mich?

DrBoogie aktiv_icon

09:44 Uhr, 14.04.2014

Sorry, aber ich weiß nicht, was "ähnliche Homomorphismen" sind.

MathsTom aktiv_icon

18:53 Uhr, 14.04.2014

Zwei Endomorphismen

f, g

heißen ähnlich, wenn es einen Automorphismus (bijektiven Endomorphismus)

φ

gibt, mit

f = φ^{- 1} \circ g \circ φ

.

Ähnliche Endomorphismen haben den selben Rang, das gleiche charakteristische Polynom und gleiche Eigenwerte mit jeweils gleichen Dimensionen der Eigenräume.

DrBoogie aktiv_icon

20:53 Uhr, 14.04.2014

Es geht alles ziemlich direkt. Z.B. die Sache mit

U_{l} / U_{l - 1}

.
Wenn

f = φ^{- 1} \circ g \circ φ

und

U_{l} = K e r (f^{l})

W_{l} = K e r (g^{l})

und

e_{1}, . . ., e_{k}

ist eine Basis von

W_{l} / W_{l - 1}

, dann ist

v_{1} = φ^{- 1} (e_{1}), . ., v_{k} = φ^{- 1} (e_{k})

eine Basis von

U_{l} / U_{l - 1}

.
Das zeigt man so:

f^{l - 1} (a_{1} v_{1} + . . . a_{k} v_{k}) = (φ^{- 1} \circ g \circ φ)^{l - 1} (a_{1} v_{1} + . . . a_{k} v_{k})

= φ^{- 1} \circ g^{l - 1} \circ φ (a_{1} v_{1} + . . . a_{k} v_{k}) = φ^{- 1} \circ g^{l - 1} (a_{1} e_{1} + . . . a_{k} e_{k})

,
deshalb

a_{1} e_{1} + . . . a_{k} e_{k} = 0

genau dann wenn

a_{1} v_{1} + . . . a_{k} v_{k} = 0

(die Gleichungen sind in

W_{l} / W_{l - 1}

und in

U_{l} / U_{l - 1}

zu verstehen).
Sorry, dass ich nicht mehr Details schreibe, aber das geht wirklich direkt, nur diese Formel ist ätzend zu tippen. :-)

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