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Potenzen von sin(x) integrieren

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Integration

Tags: Differentiation, Integration

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11:34 Uhr, 15.08.2018

Hallo,

Bei dem Versuch

{cos}^{2} (x) \cdot sin (x)

zu integrieren bin ich auf mehrere Probleme gestoßen.
Zuerst frage ich mich, warum man

{sin (x)}^{n}

(oder

{cos (x)}^{n})

nicht durch substitution von

u = sin (x)

integrieren kann?

Bei dem Versuch bin ich auf folgendes gekommen:

\int {sin (x)}^{3} d x \to u = sin (x), d x = \frac{1}{cos (x)} d u

\Rightarrow \frac{1}{cos (x)} \cdot \int u^{3} d u \to \frac{u^{4}}{4 cos (x)}

Rücksubstitution:

F (x) = \frac{{sin (x)}^{4}}{4 cos (x)}

das ist jedoch offensichtlich falsch.

Desweiteren finde ich im Internet Herangehensweisen, die Stammfunktion von

{cos}^{2} (x) \cdot sin (x)

zu finden, in dem man mit

cos (x)

subsituiert, was auf

\int - u^{2} d u

führen soll, jedoch kann ich das nicht nachvollziehen. Auch von "Reduktionsformeln" habe ich gelesen.

Gibt es irgendwelche Identitäten die bei solchen trigonometrischen Funktionen das Integrieren erleichtern können? Was ist bei einem einem solchen Produkt meist die Beste Herangehensweise? Damit habe ich nämlich noch so meine Probleme.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

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11:39 Uhr, 15.08.2018

www.integralrechner.de

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11:41 Uhr, 15.08.2018

Der Integralrechner liefert mir doch genau das, was mich erst auf diese Frage bringt, nämlich wieso mit

cos (x)

substituiert wird!

Respon

11:45 Uhr, 15.08.2018

\int {cos}^{2} (x) \cdot sin (x) d x =

?
Da

sin (x) -

bis auf das Vorzeichen - die Ableitung von

cos (x)

ist, bietet sich hier die Substitution an.

u = cos (x)

d u = - sin (x) d x \Rightarrow d x = - \frac{d u}{sin (x)}

\Rightarrow

. .

= \int (- u^{2} \cdot sin (x) \cdot \frac{1}{sin (x)}) d u = - \int u^{2} d u = . .

. .

. und schon ist er wieder weg !

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12:18 Uhr, 15.08.2018

Danke für die Antwort, selsbtständig wäre ich jedoch nicht auf die Idee mit Substitution von

cos (x)

gekommen.

Und wieso kann man Potenzen von

sin (x)

nicht durch oben beschriebene Substitution lösen?

Respon

12:30 Uhr, 15.08.2018

.. weil du falsch integriert hast. Man kann das

\frac{1}{cos (x)}

nicht vor das Integral setzen.

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12:35 Uhr, 15.08.2018

Aber wenn ich

\frac{u^{3}}{cos (x)}

nach

u

integriere, ist das

\frac{1}{cos (x)}

doch unbetroffen?

Respon

12:36 Uhr, 15.08.2018

Nein, du musst

cos (x)

ebenfalls in einen Term mit

u

verwandeln.

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12:39 Uhr, 15.08.2018

Aber wie und auch wieso?

Es gilt bei einer Substitution doch:

u = sin (x) = φ, φ' d x = d u

woraus doch

d x = \frac{1}{cos (x)} d u

folgt. Ich kann mich nicht erinnern, jemals diesen Term nochmal "umzuwandeln".

Viele Grüße.

Respon

12:40 Uhr, 15.08.2018

Es ist aber so !

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12:48 Uhr, 15.08.2018

Wie genau macht man das?

Respon

12:54 Uhr, 15.08.2018

Es gibt ja auch noch andere Methoden,

z . B

. das partielle Integrieren.

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12:56 Uhr, 15.08.2018

Das ist mir bewusst, jedoch versuche ich diesen Weg zu umgehen, da er oft sehr umständlich ist und es ja, in diesem Fall zumindest, anscheinend einfachere Wege gibt.

Respon

12:59 Uhr, 15.08.2018

Also wenn du's probieren willst

. .

.
Du hattes

u = sin (x)

d x = \frac{1}{cos (x)} d u = \frac{1}{\sqrt{1 - {sin}^{2} (x)}} d u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u

\Rightarrow

... = \int \frac{u^{3}}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u = . .

anonymous

16:25 Uhr, 15.08.2018

Lieber Copex; das nutzt dir doch Null . diese Substitution fügrt auf

sin

(x) d x =

u³

/ (1 - u

)^{\frac{3}{2}}

(1)

Hier kennst dun den Witz

" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "

Ich habe ein Spezialverfahren entwickelt, wie man in Null Komma nix die

\to

Fourierzerlegung sämtlicher Potenzen von Sinus und Kosinus konstruiert; wirst sehen. Die Aufleitung einer Fourierreihe lässt sich nämlich trivial angeben .
Alles was du können musst: die

\to

Eulerformel so wie den

\to

binomischen Lehrsatz .
Die Eulerformel lautet

a :=

exp

(+ i x); b :=

exp

(- i x) (2 a)

Ich bin pört; wieso kann der Textmodus heute kein " a Hoch

b

" mehr?

a = cos (x) + i sin (x) (2 b)

b = cos (x) - i sin (x) (2 c)

Beachte insbesondere; aus

(2 a)

folgt

a b = 1 (2 d)

(2bc) bilden nun ein LGS , das sich formal juristisch nach den Unbekannten Kosinus und Sinus auflösenlässt; uns soll hier nur Sinus intressieren.

sin (x) = \frac{a - b}{2 i} (3 a)

Alles was dir in

(3 a)

noch zu tun bleibt: ganz stur die 2. binomische Formel " Hoch 3 " anwenden . Beachte dabei aber Aussage

(2 d)

. Und noch ein weiteres Konzept stammt von mir. Du darfst hier nicht die traditionelle Reihenfolge der Terme einhalten. Viel mehr sind die Summanden so um zu sortieren, dass immer komplex konjugierte Pärchen nebeneinander stehen - schließlich erwarten wir ein reelles Ergebmus.

sin³(x)=

- (\frac{1}{8} i) [a

- b

- 3 (a + b)] = (3 b)

= \frac{1}{4} [3 sin (x) - sin (3 x)] (3 c)

Und? Hab ich dir zu viel versprochen?

(3 c)

aufleiten ist doch ein Klax .

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17:22 Uhr, 16.08.2018

An sich ist das eine sehr interessante Vorgehensweise.

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