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Potenzfunktionen - Monotonie

Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe

Tags: Analysis

 
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anonymous

anonymous

10:54 Uhr, 19.12.2004

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Hi,

ich habe nochmal ein paar Fragen zu dem Thema, da ich wo anders keine Hilfe finde..



Also ich wollte erstmal wissen ob das stimmt:



bei ungeraden negativen exponenten ist x<0 streng monoton wachsend, x>0 streng monoton fallend

bei geraden negativen exponenten ist x<0 streng monoton wachsend und x>0 monoton fallend





..

stetig ist z.b. eine Funktion x ...



stimmt das alles?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
flori

flori

12:54 Uhr, 19.12.2004

Antworten
stetig ist z.b. eine Funktion x ...

stimmt das alles?


Hallo Tim,
zu bei ungeraden negativen exponenten ist x<0 streng monoton wachsend:
beispiel:
f(x) = x^(-3)
f(-4) = -1/64
f(-3) = -1/27
f(-2) = -1/8
f(-1) = -1
f(-1/2) = -4

für wachsendes x wird f(x) immer kleiner. für x<0 ist die funktion streng monoton fallend.

f(1/2) = 4
f(1) = 1
f(2) = 1/8
f(3) = 1/27

auch für x > 0 ist die funktion streng monoton fallend.

Aber achtung, sie hat an der stelle 0 eine unstetigkeitsstelle, da sie wenn aus den negativen zahlen gegen null läuft -unendlich "wird" und wenn man sich in den positiven zahlen der null nähert +unendlich. Bei 0 ist sie null.

Somit stimmt deine aussage nicht, wir haben ja ein gegenbeispiel gefunden.

2.) bei geraden negativen exponenten ist x<0 streng monoton wachsend und x>0 monoton fallend
beispiel:
f(x) = x^(-2)
x<0:
f(-2) = 1/4
f(-1) = 1
f(-1/2) = 4

f(0) = 0
x>0:
f(1/2) = 4
f(1) = 1
f(2) = 2

der erste teil deiner Aussage Stimmt für x<0 ist f(x) streng monoton wachsend, für x> 0 jedoch ist f(x) auch streng monoton wachsend.

Auch hier wieder die Unstetigkeit im Punkte null beachten.

Einfach gesagt ist eine funktion stetig, wenn du sie in einer linie durchzeichnen kannst.
oder etwas formaler:

Sei ⁢ D ⊂ ℝ ⁢ und ⁢ x 0 ⁢ ∈   D . ⁢ Eine ⁢ Funktion ⁢ f : D → ℝ ⁢ heisst ⁢ stetig ⁢ in ⁢ x 0 ⇔ ∀   ε ⁢ >   0 ⁢ &exists;   δ ⁢ >   0 ⁢ ∀   ∈   D :   ( | x - x 0 | <   δ ⁢ ⇒   | f ( x ) - f ( x 0 ) | <   ε f ⁢ heisst ⁢ stetig ⁢ in ⁢ D ⁢ wenn ⁢ f ⁢ in ⁢ jedem ⁢ Punkte ⁢ x 0 ∈ D ⁢ stetig ⁢ ist . viele grüße
florian
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