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Potenzreihe aus Wurzelfunktion entwickeln?!

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Entwickeln, Potenzreihe, reih, Wurzel, Wurzelfunktion

dergottogondo aktiv_icon

15:23 Uhr, 19.04.2013

Juten Tach! Ich wieß zwar ungefähr, wie ich aus ner funktion die dazugehörige potenzreihe mache, aber den fall mit der wurzelfunktion kenn ich nicht! Sonst hat man ja immer die geometrische reihe und leitet die ab und kommt so zur gesuchten funktion, aber ich habe keien idee wie das mit einer wurzel aussieht:

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n} = \sqrt{1 + x}

wie komme ich jetzt auf ein

x^{n}

oder

a_{n}

?
Vielen Dank für jegliche Hilfe!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

lepton

13:36 Uhr, 21.04.2013

Du sollst deine

f (x) = \sqrt{1 + x}

offenbar in eine MacLaurin-Reihe entwickeln an der Stelle

x_{0} = 0

dergottogondo aktiv_icon

13:43 Uhr, 21.04.2013

ja das ahtte ich ohnehin vor, allerdings hatten wir diesen begriff noch nicht! meine idee war es, die wurzel per quadrieren zu eliminieren und dann die potenzreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n}

auch zu quadrieren! ich bin mir aber dabei nicht sicher, ob diese reihe

{(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{n})}^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(a_{n})}^{2} \cdot x^{2 n}

ist! kann das irgendjamend bestätigen oder weiß, wie es korrekt aussieht?

lepton

13:47 Uhr, 21.04.2013

Habt ihr schon die binomische Reihe behandelt? Denn dann dürfte es eigentlich klar werden. f(x) gehört zu den bekannten Spezialfällen der binomischen Reihe.

dergottogondo aktiv_icon

15:41 Uhr, 21.04.2013

ja die hatten wir, aber nicht wirklich ausfürlich! da wurde quasi kein augenmerk darauf gelegt! es gilt ja

f (x) = {(1 + x)}^{a} = e^{a \cdot ln (1 + x)}

. wegen der wurzel müsste

a = \frac{1}{2}

sein und die reihe müsste dann so aussehen:

\sum_{n = 0}^{\infty} = (\frac{a}{n}) \cdot x^{n}

(bruchstrich wegdenken, soll ein binomialkoeffizient sein), mit

a = \frac{1}{2}

. stimmt das? wenn ja wäre das echt ein toller tipp! vielen dank!

lepton

00:42 Uhr, 22.04.2013

Verstehe nicht, warum du f(x) als e-Fkt. umschreibst, der Exponent a ist doch keine unabhängige Variable? Es geht doch hier um die binomische Reihe. Naja, jedenfalls stimmt das mit a=0.5 bzw. die Koeffizienten deiner Potenzreihe sind einfach die Binomialkoeffizienten mit

a_{n} = (\binom{0.5}{n}) .

dergottogondo aktiv_icon

09:25 Uhr, 22.04.2013

Ja sry, das mit der e-Funktion stand halt so in den Unterlagen, hätt ich auch einfach weglassen können, fürs ergebnis bringts jedenfalls keinen unterschied! danke für den sehr guten tipp, hat mir großartig geholfen!

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