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Probleme mit einer Aufgabe

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Analysis, Inegral, Zentralabitur 2012

corarondo aktiv_icon

17:38 Uhr, 05.02.2015

Ich hatte diese Frage schon mal gestellt .

Also die Aufgabe war eine Aufgabe aus dem Zentralabi

2012 :

Ein quaderförmiges Becken mit

3 m

Länge,

2 m

Breite und

2 m

Höhe hat einen Wasserzulauf und -ablauf.
Die Funktion

f

mit

f (x) =

0,2*xˆ3- 2,1*xˆ2

+ 5 \cdot x

beschreibt modellhaft die Änderungsrate der Wassermenge in dem Becken. Dabei wird

x

in Stunden und

f (x)

in Kubikmeter/Stune angegeben. Zu Beginn st das Becken leer.

b) 1.1

Bestimmen Sie den 2. Zeitpunkt, zu dem das Becken genau zur Hälfte gefüllt ist.

1.2

Ermitteln Sie die Wassermengen, die zu genau drei Zeitpunkten angenommen werden.

1.3

Ermitteln Sie die

max

. Höhe des Wasserstandes im Becken innerhalb des betrachteten Zeitintervalls von 8 Stunden.

Mein Ansatz war halt zuerst, dass man ja das Volumen des Beckens ausrechnen könnte und dementsprechend halbiert. Diesen Wert setzt man dann mit der vorhandenen Funktion gleich. Naja, war wahrscheinlich eine dumme Idee.
Wäre nett, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte, da ich nicht wirklich weiß, was ich da machen soll.

d)

Unabhängig von diesem Sachzusammenhang wird im Folgenden die Funktionsschar fk(x) = 0,2*xˆ3-k*xˆ2+

5 \cdot x

betrachtet.
Die Tangenten an die Graphen von fk in den Punkten Qk(5|fk(5)) werden mit tk bezeichnet.
Begründen Sie : Für alle

k > 0

ist die Gerade durch

R (2,5 | 0)

und Qk(5|fk(5)) gleichzeitig auch Tangente im Punkt Qk(5|fk(5)).
Für die y-Koordinate der Wendepunkte gilt jeweils yk= (25/3)*k-(50/27)*kˆ3.
Untersuchen Sie , ob es Wendepunkte gibt, für die die y-Koordinate fünfmal so groß ist, wie die zugehörige x-Koordinate.

Ich komme insgesamt nicht wirklich weiter, wäre nett,wenn mir jemand helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Stephan4

18:49 Uhr, 05.02.2015

1.1)

Keine Ahnung!

1.2)

Grafik von

f (x)

machen.

Der höchste Wasserstand ist erreicht, wenn der Zulauf Null wird.

Der geringste Wasserstand ist erreicht, wenn der Zulauf wieder Null wird.

x (0,2 x^{2} - 2,1 x + 5) = 0

0 = 0,2 x^{2} - 2,1 x + 5

x_{1,2} = \frac{2,1 \pm \sqrt{4,41 - 4 \cdot 0,2 \cdot 5}}{2 \cdot 0,2} = \frac{2,1 \pm \sqrt{0,41}}{0,4}

x_{1} = 6,85

x_{2} = 3,65

Die Wassermenge nach

x

Stunden ist

\int_{0}^{x} (0,2 x^{3} - 2,1 x^{2} + 5 x) d x = 0,05 x^{4} - 0,7 x^{3} + 2,5 x^{2}

Grafik von

\int f (x) d x

machen.

Für

x_{1}

ist die Wassermenge

8,14

Für

x_{2}

ist die Wassermenge

2,40

Eine Wassermenge in diesem Bereich tritt genau

3 x

ein.

1.3)

Maximaler Wassermenge, wenn der Zulauf Null wird. Da ist er

8,14,

wie bereits berechnet.

Wenn ich mich nicht irre.

:-)

corarondo aktiv_icon

09:29 Uhr, 06.02.2015

Muss ich dann für

d)

die h-Methode verwenden ?

Edddi aktiv_icon

09:43 Uhr, 06.02.2015

. .

. zu Aufgabe

b

siehe:

http//www.onlinemathe.de/forum/Quadratische-Ergaenzung-anwenden

corarondo aktiv_icon

09:46 Uhr, 06.02.2015

Hatte ich schon gesehen, aber danke :-)
Weißt du zufällig, wieich bei Aufgabe

d)

da rangehen soll?

Edddi aktiv_icon

10:38 Uhr, 06.02.2015

Wir brauchen:

f_{k} (x) = \frac{2}{10} \cdot x^{3} - k \cdot x^{2} + 5 \cdot x

f_{k} (5) = \frac{2}{10} \cdot 5^{3} - k \cdot 5^{2} + 5 \cdot 5 = 25 - 25 \cdot k + 25 = 50 - 25 \cdot k

{f'}_{k} (x) = \frac{6}{10} \cdot x^{2} - 2 \cdot k \cdot x + 5

{f'}_{k} (5) = \frac{6}{10} \cdot 5^{2} - 2 \cdot k \cdot 5 + 5 = 15 - 10 \cdot k + 5 = 20 - 10 \cdot k

Tangente in

Q (\begin{matrix} 5 \\ f_{k} (5) \end{matrix})

ist:

T (x) = {f'}_{k} (5) \cdot x + n

Es muss

f_{k} (5) = {f'}_{k} (5) \cdot 5 + n

und somit

n = f_{k} (5) - 5 \cdot {f'}_{k} (5)

Daraus folgt:

T (x) = {f'}_{k} (5) \cdot x + f_{k} (5) - 5 \cdot {f'}_{k} (5)

T (x) = (20 - 10 \cdot k) \cdot x + (50 - 25 \cdot k) - 5 \cdot (20 - 10 \cdot k)

T (x) = (20 - 10 \cdot k) \cdot x + 50 - 25 \cdot k - 100 + 50 \cdot k

T (x) = (20 - 10 \cdot k) \cdot x - 50 + 25 \cdot k

Die Tangente schneidet die x-Achse bei:

(20 - 10 \cdot k) \cdot x - 50 + 25 \cdot k = 0

(20 - 10 \cdot k) \cdot x = 50 - 25 \cdot k

x = \frac{50 - 25 \cdot k}{20 - 10 \cdot k} = 2,5

Tatsächlich ist

(\begin{matrix} 2,5 \\ 0 \end{matrix})

Schnittpunkt einer jeden Tangente an

f_{k} (x)

durch

Q

Nun versuch mal die anderen, oder beschreibe wo dein Problem ist.

corarondo aktiv_icon

10:54 Uhr, 06.02.2015

Muss ich dann Die Funktion fk(x) zwei mal ableiten und dann gleichsetzen?

Edddi aktiv_icon

11:05 Uhr, 06.02.2015

. .

. es wär schön, wenn du mal den Aufgabenteil beschreibst, zu dem du eine Antwort möchtest. Ich weiß ja garnicht wo du bist.

Ich denk, den 1. Aufgabenteil hast du verstanden?

Der 2. Aufgabenteil fragt ja nach den Funktionswerten der Wendestelle.

Hinr. Bed. für Wendestelle ist ja:

f''_{k} (x_{W}) = 0

f'''_{k} (x_{W}) \neq 0

wir hatten schon

{f'}_{k} (x) = \frac{6}{10} \cdot x^{2} - 2 \cdot k \cdot x + 5

Damit:

f''_{k} (x) = \frac{6}{5} \cdot x - 2 \cdot k

f'''_{k} (x) = \frac{6}{5}

(Hier ist die Bed. einer Wendestelle also schonmal erfüllt.

Fehlt nur noch, die WS zu bestimmen über:

f''_{k} (x) = \frac{6}{5} \cdot x - 2 \cdot k = 0

x_{W} = . .

.

Diese setzt du dann einfach in

f_{k} (x)

ein um den F.-Wert zu bestimmen.

Dann fehlt dir nur noch der 3. Aufabenteil.

;-)

Stephan4

15:32 Uhr, 06.02.2015

Mein Lösungsansatz zu Aufgabe

b)

ist corarondo nicht einmal eine Kommentar wert.

Obwohl ich mich sehr bemüht habe und ca. eine halbe Stunde aufgewendet habe.

Aber bitte, man hilft ja gerne.

corarondo aktiv_icon

15:40 Uhr, 06.02.2015

Oh, tut mir leid, ich dachte ich hätte dies schon kommentiert.
Ich danke Dir, dass du dir die Zeit genommen hast die Aufgabe zu lösen, es hat mir wirklich sehr geholfen.
Dieser Ansatz hat mir sehr geholfen die Aufgabe zu verstehen.
Bitte verzeih mir, dass ich nicht kommentiert hab.

corarondo aktiv_icon

15:52 Uhr, 06.02.2015

Ich bin keineswegs undankbar für den Ansatz!
Im Gegenteil, ich freue mich, dass es Menschen gibt, die ihre Zeit auch für andere aufwenden, die mit einer Aufgabe nicht zurecht kommen.

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