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Produkt der Einheitswurzeln

Universität / Fachhochschule

Tags: Einheitswurzel, Komplexe Zahlen, produkt

TeaJay aktiv_icon

14:23 Uhr, 22.10.2015

Ich habe eine ähnliche Frage schon einmal gestellt, bin mir jedoch nicht so ganz über die Antwort sicher da mir zwei Leute unterschiedliche Ergebnisse genannt haben. Es wäre schön, wenn mir jemand sagen könnte welches richtig ist bzw. was das richtige Ergebnis ist und warum.

Man hat die komplexen Zahlen

a_{1}, a_{2}, . . a_{n},

die auch Einheitswurzel sind. Das heißt

a_{n} = x + i \cdot y

und

a^{n} = 1

.

Nun soll man

\prod_{k = 1}^{n} (a_{k})

bestimmen.
Die eine Lösung, die mir genannt wurde, ist dass das 1 ergibt, weil alle Ergebnisse Nullstellen des Polynoms

z^{n} - 1 = 0

.

Die andere Lösung sieht so aus:

\prod_{k = 1}^{n} (a_{k}) = e^{\frac{2 \cdot π \cdot 0 \cdot i}{1}} \cdot e^{\frac{2 \cdot π \cdot 1 \cdot i}{2}} \cdot ... \cdot e^{\frac{2 \cdot π \cdot (n - 1) \cdot i}{n}}

= e^{1 + \frac{2}{2} \cdot π \cdot i + \frac{4}{3} \cdot π \cdot i + \frac{6}{4} \cdot π \cdot i + \frac{8}{5} \cdot π \cdot i + ...}

= e

Meine bisherige Überlegung ist, dass

\prod_{k = 1}^{n} (a_{k}) = \prod_{k = 1}^{n} (\prod_{s = 0}^{k - 1} (e^{\frac{2 \cdot π \cdot s \cdot i}{k}}))

.

Kann mir jetzt jemand damit helfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

15:31 Uhr, 22.10.2015

Sorry, ich hatte Fehler gemacht, das Produkt ist nur

1

, wenn

n

ungerade ist.
Wenn

n

gerade ist, ist das Produkt

- 1

, wie man leicht im Fall

n = 2

sehen kann (Wurzeln

1

und

- 1

, Produkt

- 1

). Also als allgemeine Formel kann man schreiben "Produkt der

n

Einheitswurzeln=

(- 1)^{n - 1}

. Und genau

(- 1)^{n - 1}

ergibt meine Idee mit den Nullstellen vom Polynom

z^{n} - 1 = 0

, wenn man sie sauber realisiert.

"Die andere Lösung sieht so aus"

Diese Lösung ist falsch, denn Du wendest da falsche Formel an.
Richtig ist

e^{2 i π k / n}

, nicht

e^{2 i π k / (k + 1)}

.
Also sind die Einheitswurzel

1, e^{2 i π / n}, e^{4 i π / n}, e^{6 i π k / n}

usw. und nicht, was Du schreibst. Am Ende kommt auch so

(- 1)^{n - 1}

raus, aber es ist mehr Arbeit:

1 \cdot e^{2 i π / n} \cdot e^{4 i π / n} \cdot e^{6 i π k / n} \cdot . . . \cdot e^{2 i π (n - 1) / n} = e^{\frac{2 i π}{n} \sum_{k = 1}^{n - 1} k} = e^{\frac{2 i π}{n} \frac{n (n - 1)}{2}} = e^{i π (n - 1)} = (- 1)^{n - 1}

TeaJay aktiv_icon

15:38 Uhr, 22.10.2015

Ich habe jetzt noch einen neuen Ansatz. Ist der vielleicht richitg?

\prod_{k = 1}^{n} (\prod_{s = 0}^{k - 1} (e^{\frac{2 \cdot π \cdot s \cdot i}{k}})) = \prod_{k = 2}^{n} (e^{\sum_{s = 1}^{k - 1} (\frac{2 \cdot π \cdot s \cdot i}{k})})

Mit

\sum_{s = 1}^{k - 1} (\frac{2 \cdot π \cdot s \cdot i}{k})))

Werte für die verschiedenen a ausrechnet kommt man bei gerade

n (a_{n})

auf

- 1

und bei ungeraden

n

auf

+ 1

.
Daraus folgt dann das

\prod_{k = 1}^{n} (\prod_{s = 0}^{k - 1} (e^{\frac{2 \cdot π \cdot s \cdot i}{k}})) = (- 1) \cdot 1 \cdot (- 1) \cdot 1 \cdot (- 1) \cdot ... \cdot \frac{2 \cdot π \cdot i}{n}

Also ist

\prod_{k = 1}^{n} (a_{k}) = {1; - 1}

DrBoogie aktiv_icon

15:42 Uhr, 22.10.2015

Hier multiplizierst Du alle Wurzeln mehrfach, damit berechnest Du etwas Anderes. Wozu aber?

TeaJay aktiv_icon

15:42 Uhr, 22.10.2015

Ok, danke. Genau das hatte ich auch gerade raus :-D)

TeaJay aktiv_icon

15:44 Uhr, 22.10.2015

Wieso multipliziere ich alle Wurzeln mehrfach?

DrBoogie aktiv_icon

15:50 Uhr, 22.10.2015

Nun, bei Dir steht

\prod_{k = 1}^{n} \prod_{s = 0}^{k - 1} e^{2 π i s / k}

.
In diesem Produkt kommt z.B. die Wurzel

e^{4 π i / k}

(also

s = 2

)

n - 2

mal vor, denn ausgeschrieben wird Dein Produkt so aussehen:

\prod_{s = 0}^{0} e^{2 π i s / k} \cdot \prod_{s = 0}^{1} e^{2 π i s / k} \cdot \prod_{s = 0}^{2} e^{2 π i s / k} \cdot \prod_{s = 0}^{3} e^{2 π i s / k} . . . =

1 \cdot (1 \cdot e^{2 π i / k}) \cdot (1 \cdot e^{2 π i / k} \cdot e^{4 π i s / k}) \cdot \cdot (1 \cdot e^{2 π i / k} \cdot e^{4 π i s / k} \cdot e^{6 π i s / k}) . . .

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