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Produkt einer Zufallsvariable Z=XY, P(Z=k) gesucht

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Tags: produkt, Zufallsvariable

tommy40629 aktiv_icon

12:40 Uhr, 23.12.2015

Hi,

wir haben leider das Produkt von Zufallsvariablen nie definiert.

Seien X,Y unabhängige Zufallsvariablen (kurz: ZV's).
Die ZV X sei binomialverteilt

B_{1, p}

, mit

p \in (0, 1)

.
Die ZV Y sei Poisson-verteilt mit

λ > 0

.
Durch Z:=XY ist eine neue ZV definiert.
Berechne:

Die Verteilung von Z:=XY, d.h. die Wahrscheinlichkeit

P (Z = k) \forall k \in ℕ_{0}

Ich würde mir als 1-tes die Zähldiche der 2 Verteilungen aufschreiben:
binomial für die ZV X:

P (X = k) = (\binom{n}{k}) (1 - p)^{k} p^{n - k}

poisson für die ZV Y:

Π_{λ} (k) = e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!}

Ich brauche nun die Verteilung von XY.

x und Y sind ja Abbildungen, deren Abbildungsvorschriften liegen ja vor, muss man dann bei XY einfach rechnen

((\binom{n}{k}) (1 - p)^{k} p^{n - k}) (e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!})

???

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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14:19 Uhr, 23.12.2015

Damit Du das Produkt zweier Zufallsvariablen verstehst, hier ein einfaches Beispiel:

Seien

X

und

Y

unabhängig und beide

B_{2, p}

-verteilt.
Dann können

X

und

Y

die Werte

0, 1

oder 2 annehmen.
Somit kann

X \cdot Y

die Werte

0, 1, 2

oder 4 annehmen.
Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind dann zu berechnen,

z . B

P (X \cdot Y = 2) = P (X = 1, Y = 2) + P (X = 2, Y = 1) = P (X = 1) \cdot P (Y = 2) + P (X = 2) \cdot P (Y = 1)

.

Deine Aufgabe ist auch nicht so schwierig, da

X ~ B_{1, p}

-verteilt ist (also

n = 1)

tommy40629 aktiv_icon

13:02 Uhr, 02.01.2016

Danke!

Leider kann ich Deine Antwort nicht quoten.

Bei Deinem Beispiel war das

n

bei der Binomialverteilung gleich

2

.
Da wir bei der

0

mit zählen beginnen können wir das Experiment

3

Mal durcgführen.

Aus diesem Grund können X und Y die Werte

0, 1, 2

annehmen.

Beim Produkt XY gibt es nun 9 Möglichkeiten
0*1,1*0,1*1,1*2,2*1,2*2,3*2,2*3,3*3,3*1,1*3.

Wie man die Wahrscheinlichkeit von P(XY=2) berechnet, konnte ich auch nachvollziehen.

Matlog aktiv_icon

14:43 Uhr, 02.01.2016

Du schreibst merkwürdige Dinge!

"Aus diesem Grund können

X

und

Y

die Werte

0,1,2

annehmen."
Vollkommen richtig!
Wieso kommen dann in Deiner Aufzählung der Produktmöglichkeiten (Ist Dir aufgefallen, dass Du

11

Produkte aufgezählt hast?) auch Dreien vor?

"Da wir bei der 0 mit zählen beginnen können wir das Experiment 3 Mal durcgführen."

Sehr seltsam!
Du kannst eine

B_{n, p}

-binomialverteilte Zufallsgröße auch als unabhängige Summe von

n

Stück

B_{1, p}

Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen auffassen.
In meinem Beispiel ist

n = 2,

also wird ein Bernoulli-Experiment zwei Mal durchgeführt, nicht drei Mal!

X \cdot Y

kann die Werte

0,1,2

oder 4 annehmen, wobei einige dieser Werte auf unterschiedliche Arten als Produkt entstehen können.

Kannst Du das jetzt auf Deine Aufgabe anwenden?

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