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Produkt von Prim.: Potenzen von natürlichen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Primzahlen

Teilbarkeit

Tags: Elementare Zahlentheorie, Primzahl, Teilbarkeit

Clemensum aktiv_icon

12:21 Uhr, 13.05.2011

Seien

a, b, c, n \in N

mit

a b = c^{n}

.
Man zeige: Gilt zusätzlich

g g T (a, b) = 1 \Rightarrow \exists α, β \in N : a = α^{n}, b = β^{n}

.

Beweis:
Zerlege

a

und

b

in ihre Primelemente:

a = \prod_{i = 1}^{l} p_{i}^{α_{i}}

(

p_{i} \in P

\forall i \in {1, \dots, l}

)

b = \prod_{j = 1}^{m} u_{j}^{β_{j}}

(

u_{j} \in P

\forall j \in {1, \dots, m}

)
Wegen

g g T (a, b) = 1

gilt:

p_{i} \neq u_{j} \forall i \in {1, \dots, l}, j \in {1, \dots, m} .

Nimmt man nun o.B.d.A. an, dass

a \neq λ^{n}

b = γ^{n},

so würde folgen

a \cdot b = \prod_{i = 1}^{l} p_{i}^{α_{i}} \cdot \prod_{j = 1}^{m} u_{j}^{β_{j}} \neq λ^{n} \cdot γ^{n} = (α γ)^{n} = d^{k},

also

a b \neq d^{k}

was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre!

Kann mir jemand helfen, dass ich weniger intuitiv sondern mehr formal argumentiere? Die Schlüsse sind wohl eher intuitiv durchgeführt...

Würde mich auf Tipps für exaktere Beweisführung freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

michaL aktiv_icon

13:11 Uhr, 13.05.2011

Hallo,

zunächst einmal solltest du beim Posten der Aufgabe darauf achten, dass tatsächlich ALLE Voraussetzungen aufgeführt sind. Als ich die Aufgabe las, dachte ich, sie wäre falsch. Ein Gegenbeispiel ist ja auch schnell gefunden!
Dann las ich in deinen Überlegungen etwas von

ggT (a, b) = 1

. Damit ist die Aufgabe wieder korrekt!

Zum Beweis: Bis zur Feststellung, dass kein Primfaktor von

a

das

b

teilt (und umgekehrt) ist ja noch alles ok.
Dann wird es allerdings holprig. Sicher kann man leicht zum Widerspruch führen, dass nur genau einer der beiden Faktoren eine

n

tePotenz ist. Du müsstest noch ausschließen, dass auch nicht keiner der beiden eine

n

te Potenz sein kann.

Alternativ würde ich dir vorschlagen, eher von der Primfaktorzerlegung von

c^{n}

auszugehen. Da solltest du feststellen, dass jeder Primfaktor

p

von

c^{n}

als Potenz von

p^{n}

auftritt. Dann verwende die einfache Tatsache, dass jeder Primfaktor von

c

entweder in

a

aufgeht oder in

b

(wegen teilerfremd). Damit kannst du die Menge der Primfaktoren von

c^{n}

partitionieren in zwei Mengen: Primfaktoren von

a

und Primfaktoren von

b

. Daraus schließt man dohc leicht, dass beide selber

n

te Potenzen sind.

Mfg Michael

PS: So ein Lemma à la "Jeder Primfaktor einer

n

ten Potenz hat dort die Vielfachheit

k n

für ein natürliches

k

." wäre sicher hilfreich!

Gerd30.1 aktiv_icon

13:30 Uhr, 13.05.2011

mit

a = 2; b = 512; c = 2

und

n = 10

gilt

a \cdot b = c^{10},

ohne dass es

α, β

gibt mit

a = α^{n}

bzw.

b = β^{n}

Mache ich einen Denkfehler??

michaL aktiv_icon

13:38 Uhr, 13.05.2011

Hallo,

@Gerdware: Nun, eher einen Überfliegerfehler. Weder Clemensums noch meinen Artikel hast du - offenbar - so aufmerksam gelesen, dass die aufgefallen ist, dass

ggT (a, b) = 1

zu gelten habe.

Mfg Michael

Gerd30.1 aktiv_icon

13:46 Uhr, 13.05.2011

warum nicht gleich die Bedingung ggT(a,b)=1??

dann hat MichaL doch Alles gesagt!

Clemensum aktiv_icon

14:01 Uhr, 13.05.2011

Sry, ich hatte die Voraussetzung anfangs übersehen!

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