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Produkt von Transpositionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineare Algebra, permutation, produkt, Transposition

Lena96 aktiv_icon

14:05 Uhr, 11.05.2017

Hey,
Kann mir jemand einen Ansatz bzw. zeigen was ich bei Aufgabe 1 machen soll?
also der erste Teil von a ist ja klar, aber wie bestimme ich

ε

?

und bei

b)

wie beweise ich das am besten?
wäre dankbar für die Hilfe, ich weiß das Thema an sich ist nicht soo schwer :-D) haha

Liebe Grüße :-P)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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ermanus aktiv_icon

16:18 Uhr, 14.05.2017

Hallo,

zu a)

ε (σ)

ist 1, wenn die Anzahl der Transpositionen gerade ist,
und -1, wenn sie ungerade ist. Dss solltet ihr in der Vorlesung gehabt haben.
Einen Zykel der Länge

n

kann man als Produkt von

n - 1

Transpositionen schreiben.
Ist also

σ

ein Zykel der Länge

n

, so ist

ε (σ) = (- 1)^{n - 1} (*)

.
Mit Hilfe der Aussage

(*)

kannst du durch ein bisschen Nachdenken
leicht einen Beweis für b) bauen.

Gruß ermanus

Lena96 aktiv_icon

10:24 Uhr, 15.05.2017

danke, kann ich meine lösung hier später rein stellen, für 1 und kannst du mir sagen ob die stimmt?
wäre Dir voll dankbar wenn Du Dir kurz Zeit nimmst :-D)

ermanus aktiv_icon

10:50 Uhr, 15.05.2017

Ja, kannst du so machen. Ich hoffe, dass ich dann noch im Hause bin.
Um 13:00 bin ich weg und dann erst um ca. 17:00 wieder zugegen ...

Lena96 aktiv_icon

11:00 Uhr, 15.05.2017

okay cool danke :-D) aber ich brauch bestimmt noch länger, bin bis

19

uhr in der uni. Hoffe das wird nicht zu spät..

Lena96 aktiv_icon

16:57 Uhr, 15.05.2017

Also was ich bis jetzt habe, bei dem Produkt von Transpiration von

(σ 1)

hab ich es so geschrieben

: \frac{n - 2}{(n - 1) - 1} \cdot \frac{1 - 2}{n - 1} \cdot \frac{n - 2}{2 - 1} \cdot \frac{1 - (n - 1)}{n - 2} \cdot \frac{2 - (n - 1)}{(n - 1) - 2} \cdot \frac{(n - 1) - n}{2 - 3}

ist das so richtig bis jetzt? Oder voll der müll?

Wenn ich das dann ausrechne bzw. zusammen fasse, komme ich auf

\frac{- 2 n \cdot - 1 \cdot - 2 n \cdot - 2 n \cdot 3 n \cdot - 2 n}{n \cdot - 1 n \cdot 1 \cdot - 2 n \cdot - 3 n \cdot - 1}

stimmt es soweit wenigstens?

ermanus aktiv_icon

18:11 Uhr, 15.05.2017

Hallo,

du hast versucht, die Produktformel für

ε

anzuwenden. Dein Ergebnis
ist aber ganz sicher falsch; denn die Anzahl der Faktoren hängt ja von

n

ab.
Sie muss - wie du dir überlegen kannst -

\frac{n (n - 1)}{2}

betragen.
Ferner muss nach allen möglichen Kürzungen +1 oder -1 als Ergebnis
herauskommen.

Suche mal in deinen Unterlagen nach 2 Dingen:

1. Ein Zykel

(a_{1} a_{2} \dots a_{l})

kannst du als Produkt von Transpositionen
schreiben und zwar entweder als

(a_{1} a_{2}) (a_{2} a_{3}) \dots (a_{l - 2} a_{l - 1}) (a_{l - 1} a_{l})

oder ihr hattet in der
Vorlesung die Produktdarstellung

(a_{1} a_{l}) (a_{1} a_{l - 1}) \dots (a_{1} a_{3}) (a_{1} a_{2})

2. Ihr habt sicher in der Vorlesung gehabt, dass

ε

multiplikativ ist
(also ein Gruppenhomoomorphismus):

ε (σ \circ τ) = ε (σ) ε (τ)

.

Bitte sorgfältig suchen ;-)

Lena96 aktiv_icon

18:59 Uhr, 15.05.2017

Also wenn ich jetzt

(12 . .

n - 1 n)

zerlegen will, dann mach ich das so :

(12) (2 (n - 1)) ((n - 1) n),

wäre das die Transpiration?

ermanus aktiv_icon

19:18 Uhr, 15.05.2017

Nö, sondern so sieht das Produkt der Transpositionen aus:

(12) (23) (34) \dots (n - 2, n - 1) (n - 1, n)

.

P.S.: nimm doch mal die Autokorrektur aus deinem Handy oder Tablet raus,
damit nicht immer vom Schwitzen (Transpiration) die Rede ist ;-)

Lena96 aktiv_icon

19:44 Uhr, 15.05.2017

hahahahah ohman tut mir leid :-D)D

achsoo das hab ich jetzt verstanden, man kann sie eigentlich auch noch weiter führen, oder also bis

(12) (23) (34) . .

(n - 4, n - 3) (n - 3, n - 2) (n - 2, n - 1) (n - 1, n)

weil sie ja (u)N(endlich) ist XD

das setzt man dann ja in die Produktformel von Epsilon ein. die Formel ist ja
Epsilon = produktzeichen

(1

größer gleich

i < j

größer gleich

n) \frac{σ (j) - σ (i)}{j - i}

Es verwirrt mich, dass er in der Übung in der Formel statt

i, τ

geschrieben hat...

Lena96 aktiv_icon

19:44 Uhr, 15.05.2017

hahahahah ohman tut mir leid :-D)D

achsoo das hab ich jetzt verstanden, man kann sie eigentlich auch noch weiter führen, oder also bis

(12) (23) (34) . .

(n - 4, n - 3) (n - 3, n - 2) (n - 2, n - 1) (n - 1, n)

weil sie ja (u)N(endlich) ist XD

das setzt man dann ja in die Produktformel von Epsilon ein. die Formel ist ja
Epsilon = produktzeichen

(1

größer gleich

i < j

größer gleich

n) \frac{σ (j) - σ (i)}{j - i}

Es verwirrt mich, dass er in der Übung in der Formel statt

i, τ

geschrieben hat...

Lena96 aktiv_icon

19:45 Uhr, 15.05.2017

ich bin glaube gerade mega nervig, aber auch richtig dankbar für Deine Hilfe XD :-D)

ermanus aktiv_icon

20:42 Uhr, 15.05.2017

Ich muss dich doch nochmal befragen; denn ich halte es für recht unwahrscheinlich,
dass ihr bei dieser Aufgabe

ε

mit der Produktformel berechnen sollt.
Also nochmal mein Punkt 2. von 18:11 Uhr: habt ihr nicht die Multiplikativität
von

ε

behandelt ????

Lena96 aktiv_icon

20:58 Uhr, 15.05.2017

ne, wir hatten die produktformel in der übung und die bekomme ich irgendwie nicht hin. ich komme nicht auf 1 oder -1.

aber wenn ich

σ 1

und

σ 2

verknüpfe, kann ich so auch

ε

berechnen?

ermanus aktiv_icon

21:03 Uhr, 15.05.2017

Vielleicht reden wir an einander vorbei ?!?
Wie ist denn bei euch

ε

definiert (!) worden.

Lena96 aktiv_icon

21:14 Uhr, 15.05.2017

ε (σ \cdot τ) = ε (σ) \cdot ε (τ)

okay sorry, du meintest das haha..

dann wäre das bei

σ 1

Epsilon((123..n-3n-2n-1n))=

ε ((12) \cdot (23) \cdot (n - 3, n - 2) \cdot (n - 2, n - 1) \cdot (n - 1, n)) =

Epsilon((12))*epsilon((23))*epsilon((n-3,n-2))*Epsilon((n-2,n-1))*epsilon((n-1,n))

= (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) = (- 1)

stimmt das? bitte sag ja

ermanus aktiv_icon

21:18 Uhr, 15.05.2017

Ah, mir fällt ein Stein vom Herzen ;-)
Genau, also

ε (σ_{1}) = (- 1)^{n - 1}

.
Ist diese Methode nicht viel praktischer, wenn man schon die Zerlegung
in Transpositionen gefunden hat?
Den Rest bekommst du dann sicher auch hin :-)

Lena96 aktiv_icon

21:27 Uhr, 15.05.2017

ohweh danke für Deine geduld :-D)DD
den beweis lass ich mal weg, sonst schaffe ich den rest nicht mehr, aber dankeeeeee dir :-D)DDDD

Lena96 aktiv_icon

07:31 Uhr, 17.05.2017

Danke

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