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Produkt zweier Primzahlen eindeutig

Universität / Fachhochschule

Primzahlen

Tags: Primzahl, produkt, Produktdarstellung

 
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xionzion

xionzion aktiv_icon

12:41 Uhr, 13.08.2019

Antworten
Hallo,
ich hab mich beim vorbereiten auf meine Crypto Prüfung folgendes gefragt:

Lässt sich eine Zahl n = p*q (wobei p und q Primzahlen) auch darstellen durch das Produkt zweier von p und q verschiedenen Zahlen.
Also n=p*q=a*b mit qa,b und pa,b und a,bZ und pq

Ein hinweis würde mir reichen. Das die Primfaktorzerlegung eindeutig ist weiß ich aber das sollte mir hierfür ja kaum eine Aussage geben oder?

Danke und Liebe Grüße
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
11engleich

11engleich

13:02 Uhr, 13.08.2019

Antworten
Hallo
Na ja, streng formal kannst du (wenn p und q verschieden sind) die Zahlen a und b,
bzw. p und q
ja austauschen.

Du müsstest noch klarstellen, ob das so gemeint ist. Ich ahne, nein...

Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

13:10 Uhr, 13.08.2019

Antworten
.
"Lässt sich eine Zahl n=pq (wobei p und q Primzahlen) auch darstellen
durch das Produkt zweier von p und q verschiedenen Zahlen?
Ein Hinweis würde mir reichen."
.................................... Ein klares NEIN reicht ! :-)

Edit:
Also n=pq=ab mit q≠a,b und p≠a,b .... und a,b∈Z
oh! wegen a,b∈Z hat natürlich ermanus mit der zweiten Möglichkeit Recht (siehe unten!)
allerdings passt das nicht zu deinem Titel->"Produkt zweier Primzahlen" (denn solche sind >0)
.
xionzion

xionzion aktiv_icon

13:11 Uhr, 13.08.2019

Antworten
Deine Vermutung ist richtig :-) ...
pwa,b soll heißen das a und b beide ungleich p sind. Selbiges für q.

p und q müssen aber nicht voneinander verschieden sein.
xionzion

xionzion aktiv_icon

13:12 Uhr, 13.08.2019

Antworten
Warum?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:18 Uhr, 13.08.2019

Antworten
Hallo,
n=(-p)(-q) nicht vergessen ;-)
(a,b sollten Zahlen sein, nicht explizit natürliche Zahlen)
Gruß ermanus
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

13:21 Uhr, 13.08.2019

Antworten
> Lässt sich eine Zahl n=p*q (wobei p und q Primzahlen) auch darstellen durch das Produkt zweier von p und q verschiedenen Zahlen?
> Also n=p*q=a*b mit qa,b und pa,b und a,b und pq

Du kriegst sogar zwei weitere solche Darstellungen von mir: n=1*n=(-1)*(-n) :-)


Es gibt eben eine Diskrepanz zwischen der Frage in der Überschrift und der ausführlichen Variante n=ab, wo bei dir keine Rede davon ist, dass a,b Primzahlen sein müssen, geschweige denn überhaupt positive Zahlen.
xionzion

xionzion aktiv_icon

13:43 Uhr, 13.08.2019

Antworten
Ḿm ich bin etwas verwundert. Eigentlich habe ich geschrieben das a und b ganze Zahlen sein sollen.

Dann definiere ich euch das halt alles noch ein bisschen.

z.Z.: Es existiert kein a und b sodass p*q=a*b

n,a,b,q,p+ ohne 1 und 0,
Dabei seien p und q Primzahlen.
a sei von p und q verschieden.
b sei von p und q verschieden.
Antwort
Roman-22

Roman-22

14:08 Uhr, 13.08.2019

Antworten
> Ḿm ich bin etwas verwundert. Eigentlich habe ich geschrieben das a und b ganze Zahlen sein sollen.
Ja, und? Es gibt eben auch negative ganze Zahlen und 1 ist auch eine ganze Zahl.
Erst jetzt rückst du damit heraus, dass a und b positive ganze Zahlen sein sollen und auch nicht 1 sein dürfen. Die Null müsste man nicht gesondert ausschließen - zum einen, weil sich damit ohnedies keine Lösung einstellen kann und zum anderen, weil + die Null gar nicht enthält.
Damit ist die Zerlegung in n=pq natürlich eindeutig.
Den Beweis kannst du ja leicht indirekt führen.
xionzion

xionzion aktiv_icon

14:36 Uhr, 13.08.2019

Antworten
Ich bin leider recht neu in der Zahlentheorie. Daher verstehe ich nicht ganz warum die Zerlegung von n eindeutig ist. Also das es nur eine Primfaktorzerlegung gibt ist mir bewusst.
Aber warum heißt das das es nicht eine andere Zerlegung in 2 natürlich zahlen ohne 1 gibt? (die nicht primzahlen sein müssen)

LG
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

15:12 Uhr, 13.08.2019

Antworten
> Aber warum heißt das das es nicht eine andere Zerlegung in 2 natürlich zahlen ohne 1 gibt?

Du weißt schon, was Eindeutigkeit (!) der Primfaktorzerlegung bedeutet? Dass nämlich die Primfaktorzerlegungen von a und b wegen n=ab auch wieder nur aus den Primfaktoren p und q von n bestehen dürfen!!! Das geht natürlich nur mit a=p,b=q oder aber a=q,b=p, anders ist das nicht realisierbar.


Diese Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in + ist durchaus nicht selbstverständlich: Betrachtet man etwa die Menge aller positiven ganzen Zahlen 1 mod 4 und darauf die normale Multiplikation, dann gilt dort 441=9*49=21*21, wobei 9, 21 und 49 (bzgl. dieser Menge!!!) ja Primzahlen sind.

Antwort
Edddi

Edddi aktiv_icon

15:44 Uhr, 13.08.2019

Antworten
... ansonsten hier:

www.brd.nrw.de/lerntreffs/mathe/pages/magazin/mehr/eindeutigezerlegung.pdf

;-)
xionzion

xionzion aktiv_icon

17:35 Uhr, 13.08.2019

Antworten
also wenn ich das richtig verstanden habe müssen a und b (da es ja keine Primzahlen seien können wegen der eindeutigkeit der Primzahl zerlegung) darstellbar sein durch Primzahlen.
Das würde aber heißen das wir wieder n = a*b durch zwei oder mehrere von q und p verschiedenen Primzahlen darstellen möchten was natürlich nicht geht wegen der eindeutigkeit?!

Alles klar das ergibt Sinn!

Danke
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