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Produktform mit sinus und cosinus

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis

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21:32 Uhr, 10.04.2012

Hallo leute, ich habe Probleme damit diese Aufgabe zu berechnen:

"

f (z) = \frac{1}{s i n (z) - c o s (z)}

Wo besitzt f(z) im Inneren des Kreises

∣ z - 2 ∣ < 2

Singularitäten? Und welche Art?
Berechnen Sie die Residuen!"

Mein Ansatz:
also ich habe

s i n (z) - c o s (z) = 0

gesetzt und dabei eine Nullstelle innerhalb dieser kreisscheibe bei

z_{0} = \frac{π}{4}

bekommen. Als nächstes würde ich nun versuchen den nenner in produktform zu schreiben. Aber mit dem sin und cos wird das etwas schwierig.

Wäre super wenn jemand eine Lösung wüsste!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

OmegaPirat

01:05 Uhr, 12.04.2012

Hallo
Um das Residuum der funktion

f

um die stelle

z_{0} = \frac{π}{4}

herum zu berechnen, verwende doch die folgende Beziehung:

R e s_{z_{0} = \frac{π}{4}} (f) = lim_{z \to z_{0}} (f (z) \cdot (z - z_{0}))

strebt dieser grenzwert gegen einen endlichen Wert, liegt bei

z_{0} = \frac{π}{4}

eine polstelle 1.Ordnung vor. Nebenbei gibt der Wert des Grenzwertes das Residuum an.

Du solltest auf ein residuum von

\frac{1}{\sqrt{2}}

kommen

Damit hast du zwei Fliegen mit einer Klappe geschlagen. Du weißt von welchem Typ die Singularität ist und nebenbei hast du sie berechnet.

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10:07 Uhr, 12.04.2012

Hallo Omegapirat,

danke für deine super Antwort. ich habe also versucht den Grenzwert zu berechnen:

R e s (f, z_{0}) = l i m_{z \to \frac{π}{4}} \frac{1}{s i n (z) - c o s (z)} (z - \frac{π}{4}) = l i m_{z \to \frac{π}{4}} \frac{z - \frac{π}{4}}{s i n (z) - c o s (z)} \overset{L ʹ H o s p i t a l}{=} l i m_{z \to \frac{π}{4}} \frac{1}{c o s (z) + s i n (z)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

Ist das soweit richtig gerechnet?

OmegaPirat

18:43 Uhr, 15.04.2012

Hallo mathesoundso

Ja. Das ist alles vollkommen korrekt.

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23:34 Uhr, 15.04.2012

supi, dankee

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