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Produktregel für mehr als 2 Faktoren beweisen.

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Faktor, mehr, Produktregel

selo26 aktiv_icon

22:10 Uhr, 31.08.2009

Also wie der Titel schon sagt muss ich beweisen, dass die Produktregel mit mehr als 2 Faktoren auch klappt.
Doch ich habe ein Problem, wie ich das beweisen soll.

\to (u \cdot v \cdot w)' = u' \cdot v \cdot w + u \cdot v' \cdot w + u \cdot v \cdot w'

Kann mir jemand dabei behilflich sein? Ich habe einfach für

u = x^{2}, v = x^{3}

und

w = x^{4}

eingesetzt, doch das ging irgendwie nicht so, wie ich es mir gedacht hatte.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

lepton

22:22 Uhr, 31.08.2009

Du machst es genau so ähnlich wie für zwei Produkte nur du musst jetzt alle drei Produkte ableiten

\Rightarrow f (x) = u (x) \cdot v (x) \cdot w (x) \Rightarrow f' (x) = u' (x) \cdot v (x) \cdot w (x) + u (x) \cdot v' (x) \cdot w (x) + u (x) \cdot v (x) \cdot w' (x)

lepton

22:28 Uhr, 31.08.2009

Du hast aber auch für

v \land w

schlechte Bsp. ausgesucht, denn; uvw=

x^{2} \cdot x^{3} \cdot x^{4} = x^{9}

Nimm mal ruhig für

v \land w

Summen mit

x

selo26 aktiv_icon

22:34 Uhr, 31.08.2009

Das habe ich aber ich weiß jetzt nicht genau was der Beweis ist. Ich habe erst einmal die Exponenten der Funktionen addiert also:

u = x^{2}, v = x^{3}

und

w = x^{4} = f (x) = x^{9}

Davon habe ich die Ableitung genommen das ist dann:

f' (x) = 9 x^{8}

.
Und wenn ich die Produktregel anwende muss doch das selbe als Ergebnis rauskommen wie bei dieser vorherigen Ableitung oder liege ich da falsch?

magix aktiv_icon

22:38 Uhr, 31.08.2009

Seit wann gelten irgendwelche Beispiele als Beweis?

Ich würde es mal mit einer Art Substitution versuchen:

v \cdot w = z

z' = v' \cdot w + v \cdot w'

(u \cdot v \cdot w)' = (u \cdot z)' = u \cdot z' + u' \cdot z = u \cdot (v' \cdot w + v \cdot w') + u' \cdot v \cdot w = u \cdot v' \cdot w + u \cdot v \cdot w' + u' \cdot v \cdot w

Sina86

22:39 Uhr, 31.08.2009

Hi,

zu deinem Beispiel:

f (x) = x^{2} \cdot x^{3} \cdot x^{4}

\Rightarrow f ʹ (x) = 2 x \cdot x^{3} \cdot x^{4} + x^{2} \cdot (3 x^{2}) \cdot x^{4} + x^{2} \cdot x^{3} \cdot (4 x^{3}) = 2 x^{8} + 3 x^{8} + 4 x^{8} = 9 x^{8}

Die Produktregel funktioniert also.

Der Trick beim Beweis liegt in der Substitution, z.B.

a (x) = v (x) \cdot w (x)

Lieben Gruß
Sina

selo26 aktiv_icon

23:36 Uhr, 31.08.2009

OK danke an alle für die Antworten. Ich habe es jetzt.

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