Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Produktreihe, Rechnen mit Produktzeichen

Produktreihe, Rechnen mit Produktzeichen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, produkt, Reihen

Prophet aktiv_icon

17:08 Uhr, 05.05.2008

Hallo,

ich habe ein Frage zur Berechnung eines Produktes, ich hoffe ,dass mir jemand helfen kann.

Auf dem Bild unten ist die Aufgabe iii um die es hier geht.

Danke schon mal im Voraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

17:18 Uhr, 05.05.2008

Hier gilt

$\prod_{m = 1}^{98} \frac{m + 3}{m}$
$= \frac{\prod_{m = 1}^{98} (m + 3)}{\prod_{m = 1}^{98} m}$
$= \frac{\prod_{m = 4}^{101} m}{\prod_{m = 1}^{98} m}$
$= \frac{(\prod_{m = 4}^{98} m) \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (\prod_{m = 4}^{98} m)}$
$= \frac{99 \cdot 100 \cdot 101}{1 \cdot 2 \cdot 3}$

Die Schritte sind $i . a$ . nur gültig, solange das Produkt nur endlich viele Faktoren hat, $d . h$ . solange es wirklich ein Produkt ist und kein Grenzwert.

Der erste Schritt ist analog zu $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} = \frac{a \cdot c \cdot e}{b \cdot d \cdot f},$
beim zweiten wird umnummeriert; beachte, dass ${1 + 3,2 + 3,3 + 3, ...,98 + 3} = {4,5,6, ...,101}$ ist,
beim dritten werden einige Faktoren am oberen bzw. untern Ende ausgeklammert,
zum Schluss wird einfach gekürzt.
Diese Kürzbarkeit der meisten Zwischenerme tritt öfter mal bei Produkten (und auch bei Summen) auf. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem Teleskopprodukt, weil der Mittelteil wie bei einem Fernrohr, das man zusammenschiebt, verschwindet.

Prophet aktiv_icon

17:36 Uhr, 05.05.2008

Danke für die schnelle und gute Erklärung.

grooc aktiv_icon

17:43 Uhr, 05.05.2008

hey $. .$ .

dieses themengebiet ist mir neu $. .$ . kann mir jemand erklaeren wie man an aufgabe $i$ und ii rangeht?
iii habe ich verstanden.

Danke

510980

510972

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?