Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Projektion auf eine Kugel

Projektion auf eine Kugel

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper, Kugel, Projektion

Aiksn aktiv_icon

14:52 Uhr, 21.01.2017

Hallo zusammen,

im Rahmen meiner Bachelorarbeit habe ich im Moment die Aufgabe einen Schriftzug auf eine Kugel zu projizieren.
Nach einiger Recherche habe ich bis jetzt nur den umgekehrten Weg gefunden, sprich Punkte von der Kugel auf eine Ebene zu projizieren. Dies geht

z . B

. mithilfe der stereografischen Projektion de.wikipedia.org/wiki/Stereografische_Projektion.

Wie ich aber die andere Richtung hinbekomme weiß ich nicht so richtig, da sich der Schriftzug auf meiner Ebene ja verzerren muss um auf der gekrümmten Kugeloberfläche richtig dargestellt zu werden.

Ich suche hier nicht nach einer kompletten Lösung, sondern eher nach Ideen oder Ansätzen wie ich das Problem lösen könnte.

Grüße
Aiksn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

19:49 Uhr, 22.01.2017

Hallo
"... um auf der gekrümmten Kugeloberfläche richtig dargestellt zu werden."
Um dir überhaupt helfen zu können, müsstest du schon erstmal klar stellen, was "richtig" ist. Also, was genau willst du?
Es macht doch einen riesen Unterschied, aus welcher Perspektive man den Schriftzug lesen soll. Sitzt der Leser im Kugelmittelpunkt? Oder außerhalb der Kugel? Oder, oder, oder...

Und von wo aus wird projeziert?
Wie wird projeziert?
Eine punktförmige Lichtquelle?
Eine unendlich weit entfernte Lichtquelle,

d . h

. parallele Lichtstrahlen?

Wie so oft gilt: Eine Skizze hilft mehr als tausend Worte.

Roman-22

20:56 Uhr, 22.01.2017

Oder, um es weiter zu treiben, soll es wirklich unbedingt eine echte Projektion sein? Also mit Projektionsstrahlen, die durch ein Zentrum (egal ob im Endlichen oder nicht) laufen? Oder soll bloß ein zB rechteckiger Bereich in ebenen kartesischen Koordinaten auf einen adäquaten (und noch zu definierenden Teil) der Kugel abgebildet werden (wobei Abbildung eben nicht zwangsläufig Projektion bedeutet).

Soll vielleicht ein rechteckiger Bereich, welcher den Schriftzug begrenzt, vollständig auf die gesamte Kugel abgebildet werden?
Letzteres wäre sehr leicht durch eine Abbildung aus den ebenen kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten zu realisieren:

\to φ = \frac{x - x_{m i n}}{x_{m a x} - x_{m i n}} \cdot 2 π u n d θ = \frac{y_{m a x} - y}{y_{m a x} - y_{m i n}} \cdot π

Was also darfs sein?

Und in der Praxis wird das ein Grafiker eher frei nach Schnauze mit PS hinpfriemeln - Tipps und Tutorials dazu finden sich zuhauf im Netz.

Was sind also die genauen Vorgaben für deine Bachelorarbeit?

Aiksn aktiv_icon

13:04 Uhr, 24.01.2017

Okay jetzt bin ich mir nicht mehr ganz sicher ob das was ich meine wirklich eine Projektion ist.

Die Idee ist, dass ich einen Schriftzug "ISW" auf einen Abschnitt der oberen Halbkugel abbilde. Diesen abgebildeten Schriftzug will ich dann mit einem

3 D

Drucker abfahren. Dabei hatte ich folgendes Problem:
Ich habe mir gedacht, wenn ich die Buchstaben einfach in Abhängigkeit der Kugelkoordinaten ( upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Kugelkoord-def.svg/300px-Kugelkoord-def.svg.png angebe, das schon reicht.
Wenn man

z . B

. das I nur als einen Strich sieht, geht das auch, da nur

θ

verändert wird und ich den Strich von oben

(θ =

10°) bis unten

(θ =

30°) durchziehen kann. Wenn ich das I allerdings als Rechteck haben will, geht das nicht mehr, da durch die Änderung von

φ

die einzelnen Striche nicht mehr aneinander liegen, da ja der Radius der Kugel größer wird je näher man zu

θ =

90° kommt.

Die Frage ist nun wie ich meinen Schriftzug auf die Kugel abbilde/projiziere und dabei die neuen Koordinaten der Buchstaben bekomme.

Ich hoffe ihr könnt der miesen Erklärung halbwegs folgen :-D).

Viele Grüße
Aiksn

Roman-22

14:26 Uhr, 24.01.2017

Was genau stellst du dir denn unter "die neuen Koordinaten der Buchstaben" vor?

Es gibt sicher viele Möglichkeiten, eine entsprechende Abbildung vorzunehmen. Die Koordinatentrafo in Kugelkkordinaten scheint mir da auch eine der einfacheren zu sein.
Erst das sphärische Rechteck, auf das das rechteckige Logo abgebildet werden soll festlegen und dann einfach die Koordinaten umrechnen.
Aber bei jedem Ansatz wird sich das Bild in der Mitte, also um den Äquator herum "aufwölben", die Linien werden dicker werden - so wie man es gut immer wieder in den
Bildern von Vasarely sieht.

\to

www.google.at/search?q=victor+vasarely+vega-nor&stick=H4sIAAAAAAAAAONgFuLUz9U3MCwxrSxS4tVP1zc0TDYuSTcsr8rR4ncsKsksLgnJB9Ll-UXZAPln1CktAAAA&biw=1280&bih=889&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwi6x8_l79rRAhVHXhoKHRd4B8sQ_AUICCgB
Da musst du dir also überlegen, wie du damit umgehen möchtest.

Entweder besteht dein Schriftzug aus einer gefüllten Polygonliste - dann wirst du dir eine Art Füllalgorithmus für die verzerrten Polygone auf der Kugel überlegen müssen.

Oder aber dein Schriftzug ist nur ein, durch eine Reihe von Stützpunkten gegebener, Linienzug. Den kann man dann auf die Kugel werfen und dort mit einem (immer gleich breiten) "Pinsel" nachfahren.

ES geh also tatsächlich um die Frage: Was genau stellst du dir denn unter "die neuen Koordinaten der Buchstaben" vor?

Aiksn aktiv_icon

13:57 Uhr, 26.01.2017

Unter neuen Koordinaten der Buchstaben meine ich eben eine Beschreibung der Buchstaben in den Kugelkoordinaten.
Genau da liegt mein Problem, da ich den Schriftzug nicht nur mit einem Linienzug abfahren will, sondern wie du schon geschrieben hast füllen möchte.
Ich weiß nur nicht so genau wie ich damit umgehen soll, dass die Kugel zum Äquator hin breiter wird.

Das Problem ist, dass die Punkte die normalerweise beim "I" senkrecht untereinander liegen, auf der Kugel nicht mehr die gleiche

φ -

Koordinate haben.
Bzw. wenn ich das so mache und das "I" sozusagen aus vielen senkrechten Linien von oben nach unten beschreibe, die Linien oben zwar zusammenpassen, unten durch den breiteren Radius jedoch auseinander gehen und somit kein Rechteck mehr ergeben.

Ich bräuchte also irgendeinen Ansatz wie ich diese "Radiuskorrektur" bewerkstelligen könnte.

ledum aktiv_icon

19:40 Uhr, 26.01.2017

Hallo
Problem verkürzt dargestellt, auf der Kugel willst du ein Rechteck in Nord Südrichtung haben, das überall die Breite

d

hat.

Θ

am Nordpol 90° am Äquator 0° am Südpol -90° meine Vereinbarung,

R =

Radius der Kugel dann ist

d = R \cdot {cos Θ}_{0} \cdot Δ φ_{0}

am Anfang, bei jedem anderen

Θ

soll es gleich groß sein. also musst du

Δ φ

mit wachsenden

cos Θ

verkleinern
bei

Θ_{1}

etwa

Δ φ_{1} = \frac{Δ φ_{0}}{{cos Θ}_{1}}

Gruß ledum

Aiksn aktiv_icon

16:17 Uhr, 09.02.2017

Hallo nochmal,

ich hab das jetzt mal so probiert, allerdings wird das ziemlich umständlich auf diese weise.
Ich versuch nochmal zu erklären was ich eigentlich möchte:

Ich kann jeden Punkt einer Kugel über die Kugelkoordinaten

θ

und

φ

beschreiben. Die Konvention ist wie auf folgendem Bild: de.wikipedia.org/wiki/Datei:Kugelkoord-def.svg

Also ist der Nordpol bei

θ = 0,

der Äquator bei

θ = 90

und der Südpol bei

θ = 180

.

Jetzt suche ich mir einen Startpunkt aus,

z . B

θ = 90

und

φ = 0

. Dieser Punkt liegt also auf dem Äquator und auf der x-Achse.

Dieser Punkt soll nun der untere linke Eckpunkt eines Rechtecks sein. Der untere Rechte Eckpunkt soll bei

θ = 90

und

φ = 20

liegen.
Um jetzt daraus ein Rechteck zu machen fehlen mir ja noch die oberen Eckpunkte. Wenn ich allerdings einfach sage, der linke obere Eckpunkt liegt auch bei

φ = 0

und der obere rechte Eckpunkt bei

φ = 20,

bekomme ich ja eine Verzerrung, da die Kugel in Nordrichtung ja kleiner wird als sie am Äquator ist.

Ich habe also:
- links unten mit

θ = 90, φ = 0

- rechts unten mit

θ = 90, φ = 20

- links oben mit

θ = 45, φ =

unbekannt
- rechts oben mit

θ = 45, φ =

unbekannt

Ich weiß jetzt nicht wie ich diese Verzerrung berechnen kann, sodass ich jeden Punkt in diesem Rechteck beschreiben kann.

Gruß Aiksn

Roman-22

18:24 Uhr, 09.02.2017

> -

links oben mit θ=45,φ= unbekannt

φ = 10^{\circ} \cdot (1 - \frac{1}{sin θ}) = 10^{\circ} \cdot (1 - \frac{1}{{sin 45}^{\circ}}) = 10^{\circ} \cdot (1 - \frac{2}{\sqrt{2}})) = 10^{\circ} \cdot (1 - \sqrt{2}) \approx {4,142}^{\circ}

> -

rechts oben mit θ=45,φ= unbekannt

φ = 10^{\circ} \cdot (1 + \frac{1}{sin θ}) = 10^{\circ} \cdot (1 + \frac{1}{{sin 45}^{\circ}}) = 10^{\circ} \cdot (1 + \frac{2}{\sqrt{2}})) = 10^{\circ} \cdot (1 + \sqrt{2}) \approx {24,142}^{\circ}

Aber ich wage zu bezweifeln, dass das (außer vl von einem ganz bestimmten Punkt aus) vernünftig aussieht.

Vermutlich ist es g'scheiter,

φ

unverändert zu belassen.
Denn natürlich hast du IMMER irgendeine Verzerrung! Die Kugel ist keine Regelfläche - sie lässt sich nicht in die Ebene abwickeln und natürlich lässt sich auch kein ebenes Rechteck auf eine Kugel aufwickeln.

Du musst dir also erst mal selbst mit dir im Klaren sein, was eigentlich das Ziel dieser "Projektion" sein soll.

ledum aktiv_icon

18:53 Uhr, 09.02.2017

Hallo
nimm doch einfach mal nen Ball oder relativ runden Luftballon und mal darauf, was du erreichen willst, wenn die Schrift klein gegenüber dem Radius ist kannst du einfach projizieren, sonst musst du erst mal feststellen wie die Projektion denn aussehen soll.
Gruß ledum

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1355586

1351358

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?