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Punkte auf Bahnkurven
Universität / Fachhochschule
Tags: Trigonometrie, Vektorrechnung
 
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anonymous 17:58 Uhr, 06.07.2023  |
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Hallo zusammen, ich habe ein Problem die Kinematik von zwei Punkten zu beschreiben, die sich jeweils auf einer Bahnkurve bewegen (siehe Skizze). Gegeben sind die beiden Bahnkurven und sowie der Abstand der Punkte . Der Abstand soll dabei auch ein konstanter Wert sein. Nun möchte ich gerne eine mathematische Beschreibung von in Abhängigkeit von haben. Hat jemand eine Idee wie man das lösen könnte oder zumindest einen Tipp wie man hier vorgehen könnte? LG Daniel  |
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Und was genau sollen und denn sein? Die Bahnradien der Viertelkreise von und sind es ja offenbar nicht, denn dann wären sie ja bekannt, konstant und es wäre sinnlos nach gegenseitigen Abhängigkeiten zu fragen. |
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anonymous 19:42 Uhr, 06.07.2023 |
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Hallo Roman, auf den Viertelkreisen sind und genau die beiden Radien der Kreise. Aber in der Position, die skizziert ist, befindet sich ja beispielsweise noch auf einem geraden Stück. Dort ist folglich größer als der Radius des kleineren Kreises. Aber du hast natürlich Recht auf den Viertelkreisen selbst ist die Aufgabenstellung trivial. Schwierig wird die Aufgabenstellung erst aufgrund der Tatsache, dass sich die Punkte auf Bahnkurven bewegen, die auch gerade Abschnitte enthalten. |
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Was weiss man denn über die Bewegung? Geschwindigkeit konstant, gleich oder?? ledum |
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anonymous 20:14 Uhr, 06.07.2023 |
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Die Geschwindigkeit oder auch ob die Geschwindigkeit konstant oder variabel ist, spielt für mich eigentlich keine Rolle. Wichtig ist nur, dass die Punkte sich auf ihrer Bahnkurve bewegen und der Abstand zwischen den Punkten immer konstant ist. |
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Du beantwortest leider nicht die gestellte Frage, was genau bzw sind. Deine Antwort nach ist zu vermuten, dass es die Punktabstände vom Mittelpunkt der beiden konzentrischen Bahnviertelkreise sind. Falls dem so ist, die nächste Frage. Ähnlich wie ledum frage ich mich, wie deine Bewegung parametrisiert ist. Wobei schon klar ist, Geschwindigkeit und Beschleunigung für den gesuchten geometrischen Sachverhalt irrelevant sind. Kannst du für jeden Parameterwert (man muss sich darunter nicht notwendigerweise die Zeit vorstellen) die Koordinaten der beiden Punkte ermitteln? Bzw. hast du schon implementiert, wie du etwas bei gegebener Position von Punkt (natürlich auf seiner Bahn) eine der möglichen Lagen von ermitteln kannst. Im Grunde geht es bei Letzterem darum, einen Kreis vom Radius um mit der Bahn von zu schneiden. Und da diese Bahn nur eine stückweise definierte Funktion ist, wird bei der konkreten Implementation eben eine Fallunterscheidung nötig sein. Einfacher gehts vermutlich, wenn du bereits (stückweise definierte) Funktionen aufgestellt hättest, die die Lage von und abhängig von einem Parameter liefern. Wegen der Fallunterscheidungen und den nur stückweise vorliegenden Bahnen wirds nicht möglich sein, eine einfache geschlossene allgemeine Formel anzugeben, welche für gegebenes den Abstand berechnet. Genauer gesagt ist das auch nicht immer möglich und keineswegs eindeutig. Wenn etwa gleich dem Radius des inneren Kreises ist, so könnte sich auf der äußeren Kreisbahn befinden, oder aber auch auf dem waagerechten Geradenstück. Da gibts also für EINEN Wert von ein ganzes Intervall von möglichen Werten für . . die Aufgabe ist da nicht trivial, sondern schlicht nicht genau lösbar. Aber auch wenn größer als der Radius de inneren Kreises ist, ist die Aufgabe mehrdeutig. Die Antwort für fällt da unterschiedlich aus, je nachdem ob sich da auf dem waagerechten Geradenstück befindet oder auf dem senkrechten. Die Angabe von allein legt das nicht fest. |
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anonymous 22:19 Uhr, 06.07.2023 |
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„Du beantwortest leider nicht die gestellte Frage, was genau bzw sind.“ bzw. ist hier einfach der Abstand von bzw. zum Koordinatenursprung. Ich denke bei der Aufgabe ist es sinnvoll diesen in den Mittelpunkt der beiden Kreise zu legen. Also letztlich nichts anderes als die Ortsvektoren von und . Für die Anwendung später ist es sicherlich am leichtesten hier direkt in Polarkoordinaten zu rechnen. Dann kann man ja sowohl für als auch für zu jedem beliebigen Winkel α den dazugehörigen Radius angeben. „Falls dem so ist, die nächste Frage. Ähnlich wie ledum frage ich mich, wie deine Bewegung parametrisiert ist. Wobei schon klar ist, Geschwindigkeit und Beschleunigung für den gesuchten geometrischen Sachverhalt irrelevant sind. Kannst du für jeden Parameterwert (man muss sich darunter nicht notwendigerweise die Zeit vorstellen) die Koordinaten der beiden Punkte ermitteln?“ Also mein Ansatz wäre es jetzt eben gewesen für beide Punkte den Radius über den Winkel zu parametrisieren. „Bzw. hast du schon implementiert, wie du etwas bei gegebener Position von Punkt (natürlich auf seiner Bahn) eine der möglichen Lagen von ermitteln kannst.“ Aber genau dabei komme ich eben nicht weiter… „Im Grunde geht es bei Letzterem darum, einen Kreis vom Radius um mit der Bahn von zu schneiden. Und da diese Bahn nur eine stückweise definierte Funktion ist, wird bei der konkreten Implementation eben eine Fallunterscheidung nötig sein.“ Ja genau und wenn man weiter davon ausgeht, dass der Abstand zwischen den Bahnkurven konstant und immer kleiner als ist müsste es doch für jede mögliche Position von genau zwei mögliche Positionen von geben. Ich brauche dann allerdings immer nur die Lösung bei der der Winkel α von größer ist als der Winkel α von . „Einfacher gehts vermutlich, wenn du bereits (stückweise definierte) Funktionen aufgestellt hättest, die die Lage von und abhängig von einem Parameter liefern.“ Also ich wüsste aktuell nur wie ich bzw. über α parametrisiere oder vielleicht noch über die Bogenlänge der Bahnkurven aber das bringt mich ja auch nicht weiter. „Wegen der Fallunterscheidungen und den nur stückweise vorliegenden Bahnen wirds nicht möglich sein, eine einfache geschlossene allgemeine Formel anzugeben, welche für gegebenes den Abstand berechnet.“ Ja ich denke auch, dass man eine Fallunterscheidung wird machen müssen.  |
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Jetzt kommt also raus, dass es dir gar nicht darum geht für einen gegebenen Abstand den Abstand zu ermitteln, sondern dass du da vielmehr die Ortsvektoren gemeint hast! Da ist schon ein riesengroßer Unterschied. Dir geht es also schlicht darum, für eine gegebene Position von die zugehörige Position des mitgeschleppten Punkts zu ermitteln. Die Punktkoordinaten vom Winkel abhängig zu machen ist sicher eine Möglichkeit, wenn man auf eine gleichförmige Bewegung verzichten kann. Selbst die Koordinaten von benötigen hier aber bereits eine Fallunterscheidung. Wenn wir von bis laufen lassen, dann gilt für für für Dabei steht für den Radius des Viertelkreises der Bahn . Natürlich gilt immer . Für einen gegebenen Winkel gilt also im ersten Schritt die Koordinaten von zu bestimmen. Im Grunde ist die Parametrisierung der Bewegung von mit jetzt eigentlich auch schon wieder irrelevant, da es dir ja offenbar "nur" darum geht, aus der gegebenen Position von die zugehörige Position von zu ermitteln. Wenn festgelegt ist, würde ich einen Kreis um mit dem Radius ansetzen und diesen erst mit dem waagerechten Teil der Bahn schneiden. Das geht exakt, aber je nachdem, wo und wie du das implementieren möchtest, kann man da auch bereits ein numerisches Näherungsverfahren nutzen. Von den zwei Schnittpunkten is jener mit der kleineren x-Koordinate zu wählen (bzw. jener, dessen x-Koordinate kleiner als die x-Koordinate von ist. Nennen wir diesen Punkt A. Ist dann sind wor fertig und . Falls aber ist oder der Schnittpunkt gar keine reellen Koordinaten hat, muss man weiter arbeiten. Jetzt geht es dann eben darum, den Kreis um mit dem Viertelkreis von zu schneiden, den richtigen der Punkte zu wählen (den mit der y-Koordinate die kleiner als die y-Koordinate von ist) und falls es da auch wieder keinen gültigen Punkt gibt, dann muss man den Kreis um eben noch mit dem senkrechten Teil der Bahn schneiden und den richtigen (kleinere y-Koordinate) wählen. Ist halt ein wenig mühsam |
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Vielleicht ist folgende, leichter zu verstehende Aufgabe gemeint: P1 fährt auf B1 und schleppt auf seiner Fahrt P2 auf B2 hinter sich an einer Stange mit fester Länge her, wobei B1 und B2 Schienen sind, von denen sich P1 und P2 nicht lösen können. Aber wonach ist jetzt gefragt? Ist dann r1 der Abstand zwischen P1 und dem (gedachten und nicht benannten) Mittelpunkt der gemeinsamen Kurvenkreise? (Analog dann r2) Und wie meine Vorgänger schon sagten: Du musst mehrere Fälle unterscheiden... |
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fährt auf und schleppt auf seiner Fahrt auf hinter sich an einer Stange mit fester Länge her, wobei und Schienen sind, von denen sich und nicht lösen können. Ja, ich denke, dass es sich um eine solche Zwangsführung handelt, war schon klar. Die Verwirrung ist nur dadurch entstanden, dass der Fragesteller in Abhängigkeit von wissen wollte und und in der Zeichnung irreführend als Strecken eingetragen waren, was den Wunsch im Grunde nicht erfüllt bar gemacht hat. Nach der letzten Nachbesserung scheint klar, dass die eigentliche Frage die nach der Position des Schlepppunkts bei gegebenen Führungspunkt ist. Auch nicht mir einer Zeile zu beantworten, aber immerhin ein erfüllbarer Wunsch ;-) @Daniel23 Eine etwas einfachere Methode (verglichen mit dem Durchprobieren aller Schnittmöglichkeiten bis der passender Punkt gefunden wurde) ist vielleicht folgender: Wenn sich beide Punkte auf ihrer Kreisbahn befinden, ist der Winkel zwischen den Ortsvektoren und immer der gleiche und kann mittels Kosinussatz berechnet werden: . 1 Fall: Für liegt sicher auf dem waagerechten Teil seiner Bahn und seine Koordinaten lassen sich leicht mit und angeben. Dabei sind und y_die Koordinaten von und wie von dir in deiner letzten Zeichnung beschriftet. Die Formel deckt sowohl den Fall ab, dass auch auf seiner Waagerechten liegt als auch jenen, bei dem schon am Viertelkreis liegt, aber noch nicht. 2. Fall: . Hier liegen beide Punkte auf ihrer Kreisbahn und die Koordinaten von lassen sich mit und leicht berechnen. 4.Fall: . Jetzt liegen beide Punkte auf den jeweiligen senkrechten Bahnteilen und die Berechnung der Koordinaten von erledigt sich mit und Problematisch ist "nur" der 3.Fall: . Jetzt bewegt sich bereits auf der Senkrechten, aber befindet sich noch auf seinem Viertelkreis. Schätze dass es hier keine signifikante Vereinfachung geben wird, sondern man tatsächlich die beiden Kreise wird schneiden müssen um dann den Punkt mit der negativen y-Koordinate zu wählen. Mein CAS meint, die Koordinaten von wären in diesem Fall  |
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Der Fall 3 sollte auch einfacher möglich sein! Mit gilt im Fall 3 für die Koordinaten von Hier noch ein Bild der drei Positionen, die den Übergang von jeweils einem der oben beschriebenen vier Fälle zum anderen darstellen Eine kleine Animation gibts auch, nur lässt sie sich hier leider nicht anhängen, nicht einmal als animiertes GIF. Die avi-Datei ist daher ca. ein Monat lang hier verfügbar: easyupload.io/jnezdp  |
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anonymous 17:43 Uhr, 07.07.2023 |
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@Roman-22 Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe den Ansatz jetzt mal in Python umgesetzt und das funktioniert Prima (siehe Skizze). Dort sieht man jetzt auch wofür das eigentlich wichtig war. In rot eingezeichnet ist dort die Mitte zwischen den beiden Bahnkurven und in grün eingezeichnet ist jeweils der Mittelpunkt zwischen und . Wie man dort sieht liegen die beiden Kurven eben nicht mehr übereinander sobald eine der Rollen sich auf der Kreisbahn bewegt. Auch wenn der Ansatz ja jetzt schon funktioniert, wäre es für mich mal noch interessant den Rechenweg im Detail nachzuvollziehen. Mir ist noch nicht ganz klar, wie du auf die beiden Winkel β und φ gekommen bist. Könntest du mir da vielleicht mal noch eine Skizze zu machen, auf der man sieht welche Winkel das eigentlich sind? Oder allgemein mal beschreiben, wie du bei der Lösung vorgegangen bist? Das wäre für mich auch wichtig, weil in den Ansatz auf jedem Fall noch um eine Variable erweitern muss. Also aktuell haben wir ja nur einen 90° Bogen betrachtet. Das müsste ich mal noch auf größere bzw. kleinere Bögen erweitern. Und was mich auch noch interessieren würde ist welche Software du für die Skizze bzw. das Video verwendet hast. LG Daniel  |
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 Der Winkel ist der Winkel zwischen den beiden Ortsvektoren und wenn sich beide Punkte auf ihrer Kreisbahn bewegen. Man sieht ihn zB in dem gelb hinterlegten Dreieck (der Winkel im Ursprung). Von diesem Dreiech sind alle Seitenlängen und bekannt und somit der Winkel über den Kosinussatz berechenbar. Der Winkel stellt die Grenze dar zwischen der Situation, bei der sich nocj auf der Waagerechten befindet und jener, bei der dann beide auf ihrer Kreisbahn laufen. Der Winkel ist im rosa hinterlegten Dreieck auch beim Ursprung ersichtlich. Hier ist die violette Länge unbekannt, aber man kann sich aus dem grün hinterlegten rechtwinkeligen Dreieck die senkrechte (strichlierte) Länge berechnen (Pythagoras, denn Hypotenuse und zweite Kathete sind bekannt). Vom rosa rechtwinkeligen Dreieck kennt man dann beide Katheten und kann mit dem arctan dann den Winkel berechnen. Dieser Winkel stellt dann eben den Übergang zwischen " auf Senkrechter und auf Kreis" zu "beide auf Senkrechter" dar. EDIT: Sorry, das war jetzt eben nicht der von mir ursprünglich genannte Winkel, sondern jener, den ich dann genannt hatte.  Der Winkel ist der Winkel (orange) zwischen den beiden Ortsvektoren, wenn bereits auf der Senkrechten, aber noch am Kreis liegt. Die Länge kann man sich hier mittels Pythagoras errechnen die beiden anderen Seiten des Dreiecks sind mit und bekannt, wodurch dann wieder der Kosinussatz für die Berechnung von zum Einsatz kommt. Winkel (violett) ist nach wie vor der Winkel von und der Winkel (rot, ist hier immer negativ) ist dann der Winkel zu und mit sin und und dem Radius kann man dann leicht seine Position am Kreis errechnen. Die von mir verwendete Software ist ein altes Mathe-Programm, dass mittlerweile nicht mehr erhältlich ist - Mathcad . Der seit gut Jahren entwickelte Nachfolger (Mathcad Prime, . Version ist zwar modernen, kommt aber im Leistungsumfang immer noch nicht an die alte Version heran - vor allem im Bedienkomfort, Skriptbarkeit, bei der Ploterstellung und Animationen gibts bei Prime gar nicht. Ein Programm, welches ein ähnliches Konzept wie Mathcad verfolgt ist das kostenlose, aber etwas gewöhnungsbedürftige SMath Studio, welches, soweit oich weiß, auch Animationen als animierte GIFs speichern kann. Realisieren mit Animation sollte sich das auch im kostenlosen Geogebra lassen. Für die Erstellung solcher Zeichnungen ist Mathcad definitiv nicht erste Wahl, aber man verwendet eben was man hat und womit man sich leidlich auskennt ;-) Mein "Fall 1" subsummiert ja eigentlich zwei Fälle auf Waagerechter UND auf Kreis, jeweils mit auf Waagerechter). Ich hatte kurz angedacht, dass man dann ja vielleicht auch Fall 3 und Fall 4 zusammenfassen können sollte. Hab aber nicht weiter darüber nachgedacht und überlasse das gerne dir ;-) Allgemeine Bahnkurven sind sicher noch eine Herausforderung, etwa der direkte Übergang von einer Links- in eine Rechtskurve oder aber auch das Verhalten bei sehr großer Koppellänge . Da stellt sich dann die Frage, ob es vielleicht geschickter ist, die Bahnen als Punktlisten in hinreichend engem Abstand vorzugeben und die Bewegung näherungsweise in kleinen Schritten zu berechnen. in der Bahn von eine Punkt weiter gehen und jenen Punkt in der Liste für suchen, der am ehesten den Abstand von der neuen Lage von hat und möglichst nahe an der alten Position von liegt. |
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