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Pyramide halbieren

Lehrer

Tags: Oberfläche, Pyramide, Volumen

Ansengrinth aktiv_icon

22:27 Uhr, 14.04.2010

Ich habe mir eine Frage gestellt, welche über mich hinauswuchert.

Ich möchte eine quadratische gerade Pyramide mit der Grundseitenlänge

s

und der Höhe

h

mit einem Schnitt parallel zur Grundfläche so in zwei Stücke teilen, dass sowohl die Volumina als auch die Oberflächen der beiden Stücke gleich gross sind.

Das klappt nur, wenn

h

und

s

in einem bestimmten Verhältnis sind. Ich möchte nun das Verhältnis von

h

und

s

sowie die Schnitthöhe als Prozentsatz oder Teil von

h

.

Ich bleibe mit meinen Ausrechnungen stecken, da ich die Wurzelgleichungen einfach nicht lösen kann.

Meine Überlegungen bisher:

Erste Gleichung:
Nach Strahlensatz weiss ich, dass (h-Schnitthöhe)/ a gleich viel ist wie

\frac{h}{s},

wobei "a" die Grundflächenseite ist der abgeschnittenen Pyramidenspitze ist und ich nachfolgend der Schnitthöhe "x" sagen werden.

Zweite Gleichung:
Die Volumina müssen gleich gross sein. Das bedeutet, dass

\frac{s^{2} \cdot h}{6} = \frac{a^{2} \cdot (h - x)}{3}

Dritte Gleichung:
Die Oberflächen sind gleich. Die Formeln für die Oberflächen kriege ich auch noch hin, aber dann ist leider Ende Feuer.

Hat mir jemand eine komplette Lösung des Problems?

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Flächenmessung
Raummessung
Volumen einer Pyramide

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arrow30

22:59 Uhr, 14.04.2010

moin

also das Volumen

\to V = \frac{1}{3} \cdot s^{2} \cdot h

wenn wir schneiden entsteht eine neue Pyramide (die obere Hälfte )
mit Höhe

x

und Grundseitenlänge :
siehe Bild

\frac{x}{h} = \frac{a_{1}}{s} \Rightarrow a_{1} = s \cdot \frac{x}{h}

->es folgt also

V_{1} = \frac{1}{3} (s^{2} \cdot \frac{x^{2}}{h^{2}}) \cdot x = \frac{1}{3} {(\frac{s}{h})}^{2} \cdot x^{3}

und

V_{2} = V - V_{1} = \frac{1}{3} s^{2} \cdot h - \frac{1}{3} {(\frac{s}{h})}^{2} \cdot x^{3}

die Oberfläche besteht aus 4 Dreick .

h_{d} = \sqrt{{(\frac{s}{2})}^{2} + h^{2}}

O = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot s \cdot \sqrt{{(\frac{s}{2})}^{2} + h^{2}} = 2 \cdot s \cdot \sqrt{{(\frac{s}{2})}^{2} + h^{2}}

Obere Hälfte

: h_{o} = \sqrt{x^{2} + {(s \cdot \frac{x}{h})}^{2}} \to O_{1} = 4 \cdot \frac{1}{2} h_{o} \cdot s \cdot \frac{x}{h}

O_{2} = O - O_{1}

jetzt muss man

V_{1} = V_{2}

und

O_{1} = O_{2}

einsetzten und schauen was rauskommt

anonymous

23:02 Uhr, 14.04.2010

also ich denke dein problem ist schon mal das du dich auf 2 konstanten einigen musst, nicht mehr. ich bin mir nicht sicher aber icch denke schon das man mit 2 größen solch eine pyramide eindeutig beschreiben kann. also z.B. mit der höhe und der kantenlänge der grundfläche. in deiner zweiten gleichung stehen a, s, und h, eine davon musst du durch nutzung von geometrischen formeln ausmerzen. dann kannst du erst weiter rechnen.

Ansengrinth aktiv_icon

08:10 Uhr, 15.04.2010

Danke Arrow.

So weit war ich bereits. Die Oberfläche der Körper ist etwas komplizierter. Es kommt bei der Grossen Pyramide die Grundfläche hinzu, bei der Spitze die Schnittfläche. Die Oberfläche des einen Teils ist leider nicht halb so gross wie die Oberfläche der ursprünglichen Pyramide, sondern massiv grösser.

Wo's bei mir aneckt ist bei der Algebra.

Weiter ist deine Skizze nicht so, wie ich mir das vorgestellt habe. Die Pyramide sollte gerade sein, sonst wird die Oberfläche noch komplexer zum ausrechnen (Du hast in deiner Formel dann korrekterweise eine gerade Pyramide ausgerechnet).

Danke, Ansengrinth

Ansengrinth aktiv_icon

08:13 Uhr, 15.04.2010

Danke Tengo

S

ist gegeben, also habe ich nur 2 Variablen. Ich möchte zum einen eine allgemeine Formel und zweitens habe ich es auch mit einer eingesetzten Zahl für

s

nicht geschafft.

Gruss, Ansengrinth.

arrow30

14:50 Uhr, 15.04.2010

V_{1} = \frac{1}{3} (s^{2} \cdot \frac{x^{2}}{h^{2}}) \cdot x = \frac{1}{3} {(\frac{s}{h})}^{2} \cdot x^{3}

und

V_{2} = V - V_{1} = \frac{1}{3} s^{2} \cdot h - \frac{1}{3} {(\frac{s}{h})}^{2} \cdot x^{3}

V_{1} = V_{2} = \Rightarrow \frac{1}{3} {(\frac{s}{h})}^{2} \cdot x^{3} = \frac{1}{3} s^{2} \cdot h - \frac{1}{3} {(\frac{s}{h})}^{2} \cdot x^{3}

\Leftrightarrow \frac{2}{3} {(\frac{s}{h})}^{2} \cdot x^{3} = \frac{1}{2} s^{2} \cdot h \Rightarrow \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{3}}{h} = h \Rightarrow \frac{4}{3} \cdot x^{3} = h \Rightarrow x = \sqrt[3]{(\frac{3}{4} \cdot h)}

⋆ ⋆

wie ist die Oberfläche definiert ?

Ansengrinth aktiv_icon

13:00 Uhr, 17.04.2010

Hallo Arrow

Die Oberfläche der Pyramidenspitze besteht aus 4 Dreiecken und der quadratischen Schnittfläche.
Die Oberfläche des Pyramidenstumpfs besteht aus 4 Trapezen, der quadratischen Schnittfläche und der quadratischen Grundfläche.

Gruss :-)

Shipwater aktiv_icon

23:22 Uhr, 17.04.2010

Kann es sein, dass man die Pyramide vielleicht gar nicht so teilen kann, dass sowohl Volumen und Oberfläche übereinstimmen?
Weil es gibt ja nur eine Möglichkeit die Pyramide so zu teilen, dass die Volumen der entstehenden Teilkörper gleich sind. Und es gibt auch nur eine Möglichkeit die Pyramide so zu teilen, dass die Oberflächen gleich sind. Ich denke nicht, dass diese Fälle sich überschneiden.

Ansengrinth aktiv_icon

13:21 Uhr, 18.04.2010

Hallo Shipwater

Ja, in den allermeisten Fällen geht das nicht. Ich möchte wissen, in welchem Verhältnis die Höhe zur Grundseite stehen muss, damit das eben doch funktioniert.

Ob es keine, eine oder mehrere Lösungen gibt, weiss ich nicht. Aber das sollte die Algebra eigentlich zeigen. Ich vermute, dass es genau eine Lösung gibt. Ich habe die Aufgabe gelöst für Höhe = Grundseite. Wenn man nun gedanklich mit der Höhe spielt, sollte es einen Fall geben, in welchem man die Pyramide so teilen kann.

Gruss, Ansengrinth

pleindespoir aktiv_icon

19:04 Uhr, 18.04.2010

Bei einer horzontalen, also parallel zur Grundfläche verlaufenden Schnittebene wird das wohl unmöglich sein. aber du möchtest ja einen mathematischen Beweis:

Formeln:

M = a \sqrt{4 h^{2} + a^{2}}

und

V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h

Ursprungspyramide:

M_{0} = a_{0} \sqrt{4 h_{0}^{2} + a_{0}^{2}}

und

V_{0} = \frac{1}{3} \cdot a_{0}^{2} \cdot h_{0}

Oberer Pyramidenabschnitt:

M_{1} = a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}

und

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot a_{1}^{2} \cdot h_{1}

Unterer Pyramidenstumpf:

V_{2} = V_{0} - V_{1}

und

M_{2} = M_{0} - M_{1} + a_{1}^{2}

Zu zeigen wäre:

Für welches

h_{1}

gilt:

V_{1} = V_{2}

UND

M_{1} = M_{2}

pleindespoir aktiv_icon

19:08 Uhr, 18.04.2010

Fangen wir also mal an - zuerst mit dem Volumen:

V_{2} = V_{0} - V_{1}

V_{1} = V_{2}

V_{1} = V_{0} - V_{1}

2 V_{1} = V_{0}

V_{0} = \frac{1}{3} \cdot a_{0}^{2} \cdot h_{0}

V_{1} = \frac{1}{3} \cdot a_{1}^{2} \cdot h_{1}

2 \cdot \frac{1}{3} \cdot a_{1}^{2} \cdot h_{1} = \frac{1}{3} \cdot a_{0}^{2} \cdot h_{0}

2 \cdot a_{1}^{2} \cdot h_{1} = a_{0}^{2} \cdot h_{0}

Der Zusammenhang

a_{1} = a_{0} \cdot \frac{h_{1}}{h_{0}}

folgt aus dem Strahlensatz, so dass :

2 \cdot (a_{0} \cdot \frac{h_{1}}{h_{0}})^{2} \cdot h_{1} = a_{0}^{2} \cdot h_{0}

2 \cdot (a_{0}^{2} \cdot \frac{h_{1}^{2}}{h_{0}^{2}}) \cdot h_{1} = a_{0}^{2} \cdot h_{0}

2 \cdot (\frac{h_{1}^{3}}{h_{0}^{2}}) = h_{0}

2 \cdot h_{1}^{3} = h_{0}^{3}

2 = \frac{h_{0}^{3}}{h_{1}^{3}}

2 = {(\frac{h_{0}}{h_{1}})}^{3}

\frac{h_{0}}{h_{1}} =^{3} \sqrt{2}

das merken wir uns mal für nachher ...

pleindespoir aktiv_icon

19:09 Uhr, 18.04.2010

Und dann mit der Oberfläche:

M_{2} = M_{0} - M_{1} + a_{1}^{2}

M_{1} = M_{2}

M_{1} = M_{0} - M_{1} + a_{1}^{2}

2 M_{1} - a_{1}^{2} = M_{0}

M_{0} = a_{0} \sqrt{4 h_{0}^{2} + a_{0}^{2}}

M_{1} = a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}

2 (a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}) - a_{1}^{2} = a_{0} \sqrt{4 h_{0}^{2} + a_{0}^{2}}

(2 (a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}) - a_{1}^{2})^{2} = (a_{0} \sqrt{4 h_{0}^{2} + a_{0}^{2}})^{2}

4 (a_{1}^{2} \cdot (4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}) - 4 (a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}) a_{1}^{2} + a_{1}^{4} = a_{0}^{2} \cdot (4 h_{0}^{2} + a_{0}^{2})

4 a_{1}^{2} \cdot 4 h_{1}^{2} + 4 a_{1}^{4} - 4 a_{1}^{3} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}} + a_{1}^{4} = a_{0}^{2} \cdot (4 h_{0}^{2} + a_{0}^{2})

16 a_{1}^{2} h_{1}^{2} + 8 a_{1}^{4} - 4 a_{1}^{3} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}} = a_{0}^{2} \cdot (4 h_{0}^{2} + a_{0}^{2})

16 a_{1}^{2} h_{1}^{2} + 8 a_{1}^{4} - a_{0}^{2} \cdot (4 h_{0}^{2} + a_{0}^{2}) = 4 a_{1}^{3} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}

a_{0} = (a_{1} \cdot \frac{h_{0}}{h_{1}})

kennen wir ja schon so ähnlich vom Volumen - setzen es also ein:

16 a_{1}^{2} h_{1}^{2} + 8 a_{1}^{4} - (a_{1} \cdot \frac{h_{0}}{h_{1}})^{2} \cdot (4 h_{0}^{2} + (a_{1} \cdot \frac{h_{0}}{h_{1}})^{2}) = 4 a_{1}^{3} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}

16 h_{1}^{2} + 8 a_{1}^{2} - (\frac{h_{0}}{h_{1}})^{2} \cdot (4 h_{0}^{2} + (a_{1} \cdot \frac{h_{0}}{h_{1}})^{2}) = 4 a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}

16 h_{1}^{2} + 8 a_{1}^{2} - (\frac{h_{0}^{2}}{h_{1}^{2}}) \cdot (4 h_{0}^{2} + a_{1}^{2} \cdot \frac{h_{0}^{2}}{h_{1}^{2}}) = 4 a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}

16 h_{1}^{2} + 8 a_{1}^{2} - (\frac{h_{0}^{4}}{h_{1}^{2}}) \cdot (4 + \frac{a_{1}^{2}}{h_{1}^{2}}) = 4 a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}

16 h_{1}^{2} + 8 a_{1}^{2} - 4 \frac{h_{0}^{4}}{h_{1}^{2}} - \frac{h_{0}^{4} a_{1}^{2}}{h_{1}^{4}} = 4 a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}

4 h_{1}^{2} + 2 a_{1}^{2} - \frac{h_{0}^{4}}{h_{1}^{2}} - \frac{h_{0}^{4} a_{1}^{2}}{4 h_{1}^{4}} = a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}

4 h_{1}^{2} + 2 a_{1}^{2} - \frac{h_{0}^{4}}{h_{1}^{2}} - \frac{h_{0}^{4} a_{1}^{2}}{4 h_{1}^{4}} = a_{1} \sqrt{4 h_{1}^{2} + a_{1}^{2}}

jetzt quadrieren und weiterauflösen - habich aber echt keine Lust mehr drauf...

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