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Quadratische Gleichung umformen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Quadratische Gleichung, umformung

THE-E aktiv_icon

10:48 Uhr, 03.08.2011

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten eine quadratische Gleichung umzuformen, da ich nicht den genauen Lösungsweg nachvollziehen kann.

Also die Gleichung:

x^{2} + 4 x + 3 \Leftrightarrow (x + 3) \cdot (x + 1)

Ich verstehe zwar das beide Gleichungen äquivalent sind, aber ich könnte so eine Umformung nur bei offentsichtlichen Gleichungen umformen.

Es geht also darum, dass ich aus der quadratischen Gleichung auf zwei Produkte komme.

Gibt es da nicht eine Formel oder so? (die binomische Formel hab ich am Anfang gedacht)

Gruß

THE-E

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Lösen durch Umstellen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

11:14 Uhr, 03.08.2011

Hallo THE-E,

du hast

y = x^{2} + 4 \cdot x + 3

Bestimme die Nullstellen:

x^{2} + 4 \cdot x + 3 = 0 | - 3

x^{2} + 4 \cdot x + 3 - 3 = 0 - 3

x^{2} + 4 \cdot x = - 3

die quadratische Ergänzung

{(\frac{4}{2})}^{2} =

auf beiden Seiten addieren

x^{2} + 4 \cdot x + 4 = - 3 + 4

x^{2} + 4 \cdot x + 4 = 1

{(x + 2)}^{2} = 1 | \sqrt{}

\sqrt{{(x + 2)}^{2}} = \pm \sqrt{1}

x + 2 = \pm \sqrt{1}

x_{1} = - 2 + 1 = - 1

x_{2} = - 2 - 1 = - 3

In die allgemeine Nullstellenform

y = (x - x_{01}) \cdot (x - x_{02})

der Parabel einsetzen:

y = (x + 1) \cdot (x + 3)

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Atlantik aktiv_icon

11:18 Uhr, 03.08.2011

Hallo The-E,

es geht auch noch über den Satz von Vieta:

http//oberprima.com/mathenachhilfe/satz-von-vieta/

Alles Gute

Atlantik

THE-E aktiv_icon

11:27 Uhr, 03.08.2011

Vielen vielen Dank,

verstehe das jetzt, aber mir war der allgemeine "Satz" nicht bekannt:

(x

−

x_{1}) \cdot (x

−

x_{2})

Ich weiss nicht ob ich das überlesen habe oder es im Heft nicht drin steht. Wahrscheinlich sollte man das selber schlussfolgern.

Ich kenne den Satz des Vieta, aber mir ist noch nicht aufgefallen das man die Lösungen

x_{1}, x_{2}

"in"

(x

−

x_{1}) \cdot (x

−

x_{2})

einsetzen kann.

Du hast im ersten Beitrag eine Zeichnung eingefügt, muss ich da was eintragen damit ich die Darstellung sehen kann. Ist nur der Neugierde halber, ich weiss wie es aussehen wird.

Gruß

THE-E

THE-E aktiv_icon

11:27 Uhr, 03.08.2011

Bei einer Ungleichung müsste ich so wie du vorgerechnet hast vorgehen oder ?

Erst umformen in Faktoren, und dann lösen, oder ?

Gruß

THE-E

Atlantik aktiv_icon

11:51 Uhr, 03.08.2011

Hallo THE-E,

schreib mal die Ungleichung auf.Ich habe die Zeichnung als Anschauungshilfe für dich eingefügt. Grundsätzlich ist es empfehlenswert sich das GeoGebra Programm auf den PC zu laden.Man kann damit sehr viel bewerkstelligen.

mfG

Atlantik

THE-E aktiv_icon

09:53 Uhr, 04.08.2011

Ungleichung:

x^{2} + 4 x + 3 < 0

Der Lösungsweg der im Buch beschrieben wird ist:

(1) x^{2} + 4 x + 3 < 0

(2) \Leftrightarrow (x + 2) \cdot (x + 1) < 0

Links des Zeichens

<

steht ein Produkt; dieses Produkt kann nur dann kleiner als 0 werden, wenn einer der Faktoren kleiner als Null ist,

d . h .,

es gilt:

(3) (x + 3 < 0 \land x + 1 > 0) \lor (x + 3 > 0 \land x + 1 < 0)

(4) \Leftrightarrow (x < - 3 \land x > - 1) \lor (x > - 3 \land x < - 1)

(5) \Leftrightarrow - 3 < x < - 1

Frage:
Die Einsetzung von

x_{1}

und

x_{2}

(x

−

x_{1}) \cdot (x

−

x_{2})

ist doch unabhängig, ob es

= 0, > 0, < 0

ist , oder ?

Also kann ich immer nachdem ich

x_{1}

und

x_{2}

ausgerechnet habe den Term in Faktoren zerlegen, oder ?

EDIT: Weil Operatoren verkehrt.

DmitriJakov aktiv_icon

10:04 Uhr, 04.08.2011

Bist Du da ab

(3)

irgendwie in die Lösung einer anderen Frage gerutscht? Aber abgesehen davon, wäre das auch eine etwas merkwürdige Lösung: Wie kann etwas kleiner

- 3

UND größer

- 3

sein?

Entweder hast Du "und" und "oder" vertauscht oder etwas anderes ist faul im Staate Dänemark.

THE-E aktiv_icon

10:07 Uhr, 04.08.2011

Oh sorry, ich habe "und" und "oder" verwechselt, im Buch stehen diese als Zeichen da und ich weiss nicht wie man das hier schreiben kann.

Ich editiere das mal schnell.

DmitriJakov aktiv_icon

10:15 Uhr, 04.08.2011

Stell mal die Lösungsmengen auf. Fang an mit:

x + 3 < 0 \land x + 1 > 0

Das logische "und" schreibt man hier mit "^^" und das logische "oder" mit "vv". Schau mal hier rein (erreichbar im Editor mit dem Button "wie schreibt man Formeln": www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

THE-E aktiv_icon

10:39 Uhr, 04.08.2011

Danke für den Link, der Button ist mir nicht aufgefallen.

L = {x | - 3 < x < - 1}

oder

L =] - 3; - 1 [

Also so stehts im Buch. Oder was genau meinst du mit Lösungsmengen ?
Also das es ein Intervall sein muss ist mir schon klar.

Die Frage: "Die Einsetzung von

x 1

und

x 2

(x

−

x_{1}) \cdot (x

−

x_{2})

ist doch unabhängig, ob es

= 0, > 0, < 0

ist , oder ?" ist eigentlich die Frage wo ich mir nicht ganz sicher bin. Kann ich die

(x

−

x_{1}) \cdot (x

−

x_{2})

verwenden um den quadratischen Term in Faktoren zu zerlegegen ?

Gruß

THE-E

DmitriJakov aktiv_icon

10:56 Uhr, 04.08.2011

"Die Einsetzung von

x 1

und

x 2

(x

− x1)⋅(x −

x 2)

ist doch unabhängig, ob es

= 0, > 0, < 0

ist , oder ?"
Das ist korrekt

"Kann ich die

(x

− x1)⋅(x −

x 2)

verwenden um den quadratischen Term in Faktoren zu zerlegegen ?"
Ja, jedoch ist manchmal

x 1

und

x 2

das selbe,

z . B

. bei

y = {(x - 2)}^{2} = (x - 2) (x - 2)

x = 2

ist somit eine doppelte Nullstelle.

Und manchmal kannst Du es gar nicht in (reelle) Faktoren zerlegen wie

z . B

y = x^{2} + 1

denn diese Funktion hat keine reelle Nullstelle.

THE-E aktiv_icon

11:03 Uhr, 04.08.2011

Vielen vielen Dank. Ihr beide habt mir sehr geholfen. Habe vorher nicht wirklich den Zusammenhang verstanden.

Gruß

THE-E

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