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Quadratische Gleichungen mit komplexen Koeffizient

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen, Quadratische Gleichung

Kon86 aktiv_icon

15:30 Uhr, 25.05.2018

Hallo folgende Aufgabe bereitet mit Kopfzerbrechen:

Ich soll diese quadratische Gleichung lösen:

z^{2} - 9 z + 20 =

3iz^2 - 7iz

+ 10 i

Mein erster Schritt war den rechten Term auf die linke Seite holen und sortieren

(z^{2} -

3iz)

- (9 z +

7iz)

+ (20 - 10 i) = 0

dann habe ich die Unbekannten ausgeklammert

(1 - 3 i) z^{2} - (9 - 7 i) z + (20 - 10 i) = 0

und jetzt habe ich Normiert durch

(1 - 3 i)

und die PQ Formel angewendet.
habe auch beim einsetzen die MINUSZEICHEN richtig beachtet etc...
leider kommt nur Müll raus.

ich bräuchte ab dem Schritt mit :

(1 - 3 i) z^{2} - (9 - 7 i) z + (20 - 10 i) = 0

dringend Hilfe und eine Erklärung step by step bitte danke !

Die Lösungen sollen sein :

z 1 = 1 + 3 i

z 2 = 2 - i

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Lösen durch Umstellen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

16:00 Uhr, 25.05.2018

>

dann habe ich die Unbekannten ausgeklammert

>

(1−3i)z2−(9−7i)z+(20−10i)=0
Aber in der Angabe, so wie du sie hier angegeben hast, steht nicht

3 i z^{2}

sondern nur

3 i z

. Falls dem so ist, wäre dein Ausklammern bereits falsch.

Kon86 aktiv_icon

16:08 Uhr, 25.05.2018

Ja kleiner Fehler, es soll heissen:

(z^{2} - 3 i z^{2}) - (9 z +

7iz)

+ (20 - 10 i) = 0

und nun ? hast du einen Ansatz für das Problem was ich hier geschildert habe ?

Atlantik aktiv_icon

18:19 Uhr, 25.05.2018

z^{2} - 3 i z^{2} + 7 i z - 9 z = 10 i - 20

z^{2} (1 - 3 i) + z (7 i - 9) = 10 i - 20

z^{2} + z \cdot \frac{7 i - 9}{1 - 3 i} = \frac{10 i - 20}{1 - 3 i}

\frac{7 i - 9}{1 - 3 i} = - 3 - 2 i

laut Wolfram. Den Weg dahin kenne ich nicht.

z^{2} - z \cdot (3 + 2 i) = \frac{10 i - 20}{1 - 3 i} = - 5 - 5 i (\to

von Wolfram)

{(z - \frac{3 + 2 i}{2})}^{2} = - 5 - 5 i + {(\frac{3 + 2 i}{2})}^{2} = - 5 - 5 i + \frac{9 + 12 i + 4 i^{2}}{4} = - 5 - 5 i + \frac{5 + 12 i}{4}

{(z - \frac{3 + 2 i}{2})}^{2} = \frac{- 20 - 20 i + 5 + 12 i}{4} = \frac{- 8 i - 15}{4}

(z - \frac{3 + 2 i}{2}) = \pm \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 8 i - 15}

z_{1} = \frac{3 + 2 i}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 8 i - 15} = 2 - i

z_{2} = \frac{3 + 2 i}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{- 8 i - 15} = 1 + 3 i

mfG

Atlantik

rundblick aktiv_icon

19:17 Uhr, 25.05.2018

\frac{7 i - 9}{1 - 3 i} = - 3 - 2 i

laut Wolfram.

" Den Weg dahin kenne ich nicht."

lieber Atlantik, damit du den Weg in Zukunft auch alleine gehen kannst,
hier die Schritte:
erweitere den Bruch

\to

\frac{7 i - 9}{1 - 3 i}

mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners

\to

\frac{(- 9 + 7 i) \cdot (1 + 3 i)}{(1 - 3 i) \cdot (1 + 3 i)} = \frac{(- 9 + 7 i) \cdot (1 + 3 i)}{10} = \frac{- 30 - 20 i}{10} = - 3 - 2 i

rechne selbst nach
..und übe dann analog die Umformung von

\frac{- 20 + 10 i}{1 - 3 i} = \frac{10 \cdot (- 2 + i)}{1 - 3 i} = . .

.
ok?
.

Atlantik aktiv_icon

19:24 Uhr, 25.05.2018

Danke dir für den freundlichen Tipp!

mfG

Atlantik

Roman-22

23:40 Uhr, 25.05.2018

>

Ja kleiner Fehler, es soll heissen:

>

(z2−3iz2)−(9z+ 7iz) +(20−10i)=0
Nein. soll es nicht. Da war noch ein weiterer Fehler drin. In der Klammer muss es -7iz heißen, nicht +7iz.

>

und nun ? hast du einen Ansatz für das Problem was ich hier geschildert habe ?
Du hast einen möglichen richtigen Ansatz bereits genannt. Nämlich den Koeffizienten des quadratischen Glieds auf 1 normieren und die pq-Formel anwenden.
Wenn du da alles richtig machst, solltest du

u . a

. auf

... \pm \frac{\sqrt{- 15 - 8 i}}{2}

kommen und dann eben die Wurzel ziehen

\to \sqrt{- 15 - 8 i} = 1 - 4 i

.
Da du schreibst, dass du auf diesem Weg "nur Müll" rausbekommst, müsstest du schon deine Rechnung hier vorstellen, damit wir dir deine(n) Fehler ausbessern können.

Eine weitere, ähnlich aufwändige Methode ist die Lösung durch quadratische Ergänzung. Atlantik hat die Lösung mit dieser seiner Lieblingmethode ja teilweise vorgemacht.

Mir scheint es etwas einfacher zu sein, direkt die "Mitternachtsformel" ("abc-Formel") zu verwenden. Dabei kommst du auf

z_{1,2} = ... = \frac{9 - 7 i \pm \sqrt{72 + 154 i}}{2 - 6 i},

was dann ebenfalls auf die von dir schon angegebenen beiden Lösungen führt.

Ich würde vorschlagen, dass du jetzt einfach mal deine Rechnung hier präsentierst.

Kon86 aktiv_icon

03:37 Uhr, 26.05.2018

Gerne also :

Z = \frac{3 + 2 i}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3 - 2 i}{2})}^{2} - (5 + 5 i)}

= \frac{3}{2} + i \pm \sqrt{\frac{5}{4} + 3 i - 5 - 5 i}

= \frac{3}{2} + i \pm \sqrt{- \frac{15}{4} - 8 i}

Mein Problem ist jetzt wie löse ich die Wurzel auf mit der

- 8 i

?

und ist der Weg der richtige ?

bin bisschen verzweifelt... benutze die PQ-Formel eigentlich immer aber das raubt mir den Nerv !

Mein Plan war jetzt alles so umzuformen das ich die Wurzel wegbekomme!
zu Fuß gerechnet bekomme ich schreckliche brüche raus sowas bei

- \frac{13}{2}

- 6 i

unter der Wurzel....

und mit dem TR geht das nicht er kann zwar komplexe zahlen jedoch streikt er wenn ich

\sqrt{i}

eingebe.
ich übersehe bestimmt etwas

...

- . -

rundblick aktiv_icon

10:30 Uhr, 26.05.2018

.
"Mein Problem ist jetzt wie löse ich die Wurzel auf mit der

- 8 i

? "

\to

nein - dein Problem beginnt schon vorher, denn

+ 3 i - 5 i = .

. gibt gar nicht

- 8 i

\to

und es geht dann weiter damit, dass unser Roman-Schreiber nicht wahrhaben will,
dass das Symbol

\sqrt{}

eigentlich gar nicht definiert ist in

ℂ .

.
dafür mokiert er sich über den eigentlich brauchbaren Weg des "ergänzenden" Atlantik -
nur taucht auch da am Schluss leider das

\sqrt{}

auf .. aber vorher siehst du dort,
dass das

- 8 i

auch auftaucht

\to

allerdings richtig im Zähler des Bruches mit Nenner 4

{(z - \frac{3 + 2 i}{2})}^{2} = \frac{- 15 - 8 i}{4} = \frac{1}{4} \cdot (- 15 - 8 i)

und da bleibt diese Restaufgabe

\to w^{2} = (- 15 - 8 i)

w =

u+iv

\Rightarrow

u^{2} - v^{2} = - 15

2 u v = - 8

\Rightarrow u^{2} = 1 . .

u = \pm 1 \Rightarrow v = - + 4 . .

\Rightarrow w_{1,2} = \pm (1 - 4 i)

also dann

z_{1,2} = \frac{3 + 2 i}{2} \pm \frac{1 - 4 i}{2}

oder Variante 2 (mit Polarform)

\to

w^{2} = 17 \cdot (- \frac{15}{17} - \frac{8}{17} i) \approx 17 \cdot e^{(3,63155 + 2 k \cdot π) \cdot i} .

w_{1,2} \approx \sqrt{17} \cdot e^{\frac{3,63155 + 2 k \cdot π}{2} \cdot i} . .

. für

k = 0, 1 .

. usw..

nebenbei :
es wäre nett, Kon86 , wenn du dich nicht versteckst - dh dass man wissen darf,
ob/dass du anwesend bist .. also bitte

\to

grüner Punkt ; danke.
.

Kon86 aktiv_icon

12:36 Uhr, 26.05.2018

Recht haste Grüner Punkt ist jetzt da ;-)

So nächsten fehler erkannt danke dafür erstmal.
Jetzt meine nächste Frage ist denn die PQ-Formel dafür praktikabel denn ich würde mir für weitere Aufgaben gerne ein vorghehen merken und es für mich verinnerlichen....
Unser Dozent hat es mit der PQ-Formel errechnet und meinte dieser Weg wäre legitim.

also nochmal zurückspulen

Ausgangssituation:

z = \frac{3 + 2 i}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 3 - 2 i}{2})}^{2} - (- 5 + 5 i)}

ist es bis dahin richtig ?

dann fasse ich unter der Wurzel zusammen (diesmal richtig):

z = \frac{3 + 2 i}{2} \pm \sqrt{(- \frac{15}{4} - 2 i)}

so ab hier verstehe ich nicht mehr ganz euer Vorgehen !

du schreibst

. .

{(z - \frac{3 + 2 i}{2})}^{2} = \frac{- 15 - 8 i}{4} = \frac{1}{4} \cdot (- 15 - 8 i)

wo bleibt die Wurzel der Formel ab und wieso mal

\frac{1}{4}

?

Was passiert mit der Wurzel oder wie schreibe ich es um auf den von dir genannten Lösungsweg zu kommen.

Kon86 aktiv_icon

13:06 Uhr, 26.05.2018

HIER NOCHMAL ALS BILD

rundblick aktiv_icon

13:35 Uhr, 26.05.2018

.
"Grüner Punkt ist jetzt da ;-) "

...

. super !

aber schade, dass du anscheinend immer noch nicht begriffen hast,
dass die (noch

\sqrt{}

freie

!!)

Ausgangssituation diese ist

\to

{(z - \frac{3 + 2 i}{2})}^{2} = \frac{- 15 - 8 i}{4}

wie du dahin kommst, kannst du oben bei Atlantik sehr gut sehen.

und jetzt geht es darum, herauszufinden, welche komplexen Zahlen quadriert
eben

\frac{- 15 - 8 i}{4} = \frac{1}{4} \cdot (- 15 - 8 i)

ergeben ..
da du sicher weisst, dass

{(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}

gibt, habe ich oben nur den anderen
Faktor genauer angeschaut .. also welche Zahl

w

gibt quadriert

w^{2} = (- 15 - 8 i)

und wenn du dir etwas Mühe gibst und versuchst, meinen Vorschlag zum Lösungsweg
(siehe oben) nachzuvollziehen, dann sollte doch nun alles klar sein ?

nebenbei:
"Unser Dozent hat es mit der PQ-Formel errechnet und meinte dieser Weg wäre legitim".

\to

formal - aber sehr am Rande der "Legitimität"..
frag ihn :

1) \to

ist - und wie ist - das

\to \sqrt{}

Symbol in

ℂ

definiert ?

2) \to

wie findet/berechnet er konkret die Lösungen zB von seiner "

\sqrt{- 15 - 8 i}

"
.

Atlantik aktiv_icon

13:37 Uhr, 26.05.2018

Ganz ausführlich:

z^{2} + z \cdot \frac{7 i - 9}{1 - 3 i} = \frac{10 i - 20}{1 - 3 i}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Zwischenrechnungen:

\frac{7 i - 9}{1 - 3 i} = \frac{(7 i - 9) \cdot (1 + 3 i)}{(1 - 3 i) \cdot (1 + 3 i)} = \frac{7 i - 21 - 9 - 27 i}{1 + 9} = \frac{- 20 i - 30}{10} = - 2 i - 3

\frac{10 i - 20}{1 - 3 i} = \frac{10 (i - 2) \cdot (1 + 3 i)}{(1 - 3 i) \cdot (1 + 3 i)} = \frac{10 (i - 3 - 2 - 6 i)}{10} = - 5 i - 5

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

z^{2} + z \cdot (- 2 i - 3) = - 5 i - 5

{(z - \frac{2 i + 3}{2})}^{2} = - 5 i - 5 + {(\frac{2 i + 3}{2})}^{2} = - 5 i - 5 + \frac{- 4 + 12 i + 9}{4} = \frac{- 20 i - 20 + 5 + 12 i}{4}

{(z - \frac{2 i + 3}{2})}^{2} = \frac{- 8 i - 15}{4}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Siehe Weg von rundblick:

10 : 30

Uhr,

26.05.2018

z_{1,2} = \frac{3 + 2 i}{2} \pm \frac{1 - 4 i}{2}

mfG

Atlantik

Kon86 aktiv_icon

14:11 Uhr, 26.05.2018

Danke dir jetzt sehe ich es !

Kon86 aktiv_icon

14:18 Uhr, 26.05.2018

- \to

zu:

frag ihn :
1)→ ist - und wie ist - das → Symbol in ℂ definiert ?
2)→ wie findet/berechnet er konkret die Lösungen zB von seiner " sqrt(−15−8i) "

ja da werde ich nochmal nachfragen...

kann auch sein das ich dass ich das eine oder andere falsch oder nicht ganz verstanden habe.

Danke sehr

mit der quadratischer Ergänzung sollten die Folgeaufgaben auch laufen

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