Quadratische Textgleichungen mit pq formel lösen

Hallo!

Wo ist dein Problem bei diesen Aufgaben?

Verstehst du die Frage nicht oder weißt du nicht, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet?

Man muss schon ein wenig selbst überlegen und nicht nur die Fragen posten und sagen: "Macht das mal".

Viele Grüße!

Hallo!

Es geht ja nicht darum, dass du die Aufgaben selbst lösen musst, sondern einfach um die Art deiner Frage. Du postest 2 Aufgaben und sagst, ich bräuchte einen kompletten Lösungsweg. Du schreibst nicht dazu, wo genau dein Problem ist, du schreibst noch nicht einmal "Hallo". Das sieht für mich so aus, als ob du einfach keine Lust darauf hast, ein wenig zu überlegen. Du gibst uns (der Community) die Aufgaben, damit wir sie für dich machen und das finde ich nicht richtig.

Viele Grüße

Na siehst du es geht doch!

Jetzt ist es gleich viel angenehmer zu helfen.

Also zu Aufgabe 1:

Der Flächeninhalt eines Dreiecks lautet:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{2}\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

G ist die Grundseite und h die Höhe.

So, jetzt soll G 2,5 cm kleiner als die Höhe sein. Das heißt nichts anderes als:

${\displaystyle \mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2,5}$

Das setzen wir jetzt in unsere Formel oben ein. Dann steht da:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{2}(\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2,5)\cdot \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Das multiplizieren wir ein wenig aus:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{2}{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1,25\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

So, wir haben für A ja schon einen gegebenen Wert, den wir nun einsetzen und auf die andere Seite bringen. Dann erhalten wir:

${\displaystyle \frac{1}{2}{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1,25\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-42=0}$

Das ist eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten h. Wir miltiplizieren alles mit 2, damit vor dem h^2 eine 1 steht:

${\displaystyle {\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2,5\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-84=0}$

Dann setzen wir die pq-Formel ein:

${\displaystyle {\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1,2}=-\frac{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\right)}^2-\mathrm{q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Wenn wir alles richtig einsetzen erhalten wir für h:

${\displaystyle {\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=-8}$

${\displaystyle {\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=10,5}$

Den negativen Wert können wir nicht gebrauchen. Das heißt also, die Höhe des Dreiecks beträgt 10,5 cm. Jetzt müssen wir noch die Grundseite berechnen: Wir wissen: Die Grundseite ist 2,5 cm kürzer als die Höhe. Das heißt, die Grundseite beträgt 8cm.

Das war erst einmal Aufgabe 1

Viele Grüße

Nun zur Aufgabe 2:

Ich gehe einmal davon aus, dass das Grundstück rechteckig ist.

Wir haben brauchen die Formeln für Fläche und Umfang des Rechtecks:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Der Umfang beträgt 104 m. Nämlich: Länge des Zauns + 4 Meter Einfahrt.

Das heißt, wir können erst einmal einsetzen:

${\displaystyle 104=2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Diese Formel stellen wir nun nach b um. Wir erhalten für b:

${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=52-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Dieses b setzen wir nun in die Formel für die Fläche ein:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot (52-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Das multiplizieren wir aus:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+52\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Wir setzen den gegebenen Wert für die Fläche ein und bringen diesen wieder auf die andere Seite. Dann haben wir:

${\displaystyle -{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+52\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-640=0}$

Diese Gleichung multiplizieren wir dieses mal mit -1, damit vor dem a^2 eine positive 1 steht.

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-52\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+640=0}$

Dann setzen wir wieder die pq-Formel ein und erhalten für a:

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=20}$

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=32}$

So, jetzt haben wir 2 positive a. Jetzt müssen wir die Probe machen, um herauszufinden, welches a stimmt, oder ob beide stimmen.

Wir setzen also das in die Formel für den Umfang oder die Fläche ein und gucken, ob der richtige Wert herauskommt.

Wenn man die Probe gemacht hat, stellt man fest, dass beide a richtig sind. Das heißt, diese Aufgabe hat 2 Lösungen. Wenn amn noch b ausrechnet erhält man für b:

${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=32}$

${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=20}$

Jetzt fällt uns natürlich etwas auf: Wenn wir fü a=20 einsetzen erhlten wir für b=32. Und wenn wir für a =32 einsetzen erhalten wir für b=20.

Das ist natürlich klar. Wir haben nämlich nicht definiert, welche Seite des Rechtecks die längere ist. Somit ergibt sich auf jeden fall die Lösung, dass eine Seit 32m lang ist und die andere 20m.

Viele Grüße!