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Quotientenkriterium und Grenzwert einer Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Elduardo aktiv_icon

17:03 Uhr, 04.01.2019

Hallo zusammen!

Ich verstehe nicht genau was mein Prof hier gemacht hat.
Bitte um Hilfe! Fragen stehen auf den Bildern!

Viele Grüße Elduardo!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Elduardo aktiv_icon

17:32 Uhr, 05.01.2019

Falls es irgendwelche Fragen zu den Bildern gibt dürfen diese gerne gestellt werden!
(Das mit der größeren Schrift habe ich geschrieben)

michaL aktiv_icon

18:28 Uhr, 05.01.2019

Hallo,

du hast die Abschrift vermutlich verfälscht! (2. Bild)

Es gilt NICHT

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{3^{2 k + 3 k^{2}}}{(2 k)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{3^{2 (k + 1) + 3 (k + 1)^{2}}}{(2 k + 1)!}

.

Vielmehr gilt:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{3^{2 k + 3 k^{2}}}{(2 k)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{3^{2 (k + 1) + 3 (k + 1)^{2}}}{(2 (k + 1))!}

.

Hintergrund ist eine einfache Indexverschiebung.

^{[1]}

So, nun weiter:

Offenbar wird das Quotientenkriterium korrekt angewendet. Daraus geht hervor, dass die Reihe divergiert. (1. Blatt)

Beim 3. Blatt schaffe ich es nicht, einen Zusammenhang zu den ersten beiden herzustellen. Soll dieses Blatt mit der Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{3^{2 k + 3 k^{2}}}{(2 k)!}

zu tun haben?

Mfg Michael

Links:
[1] www.massmatics.de/merkzettel/#!43:-D)ie_Indexverschiebung

Elduardo aktiv_icon

20:57 Uhr, 05.01.2019

Bei Blatt 2 habe ich mir halt gedacht das ich erst die Indexverschiebung mache mit

+ 1

und danach das Quotenkriterium anwende mit

(k + 2)

hätte ich das so nicht tun dürfen?

Upps das hab ich vergessen zu erwähnen.
Das 3 Blatt ist eine seperate Aufgabe einer Folge bei dem der Grenzwert bestimmt werden soll. Ich komme aber auf einen anderen Grenzwert.

michaL aktiv_icon

21:51 Uhr, 05.01.2019

Hallo,

doch, man darf auch erst eine Indexverschiebung durchführen und dann das Quotientenkriterium anwenden.
Aber die Indexverschiebung ist unnötig. Man kann auch gleich das Quotientenkriterium versuchen. Das macht hier keinen Unterschied.

Zur

(a_{n})_{n \in ℕ}

mit

a_{n + 1} = - \frac{1}{3} (3 - 2 a_{n})

.

Zuerst muss man zeigen, dass die Folge konvergiert.
Sei

f (x) := - \frac{1}{3} (3 - 2 x) = \frac{2}{3} x - 1

. Dann gilt:

∣ f (x) - f (y) ∣ = \frac{2}{3} ∣ x - y ∣

. Insbesondere ist

f

eine Kontraktion. Daraus folgt, dass die Folge

(a_{n})_{n \in ℕ}

mit

a_{n + 1} = f (a_{n})

für JEDEN Startwert konvergiert.

Nun geht es eigentlich nur noch darum herauszufinden, was der Grenzwert ist. Den hat der Prof (?)

γ

genannt. Offenbar gilt:

γ = f (γ) = - 1 + \frac{2}{3} γ \overset{}{\Leftrightarrow} γ = - 3

, wie es dein Prof auch geschrieben hat.

Bei dir wird aus

a_{n + 1} = - \frac{1}{3} (3 - 2 a_{n})

eigenartigerweise die Gleichung

γ = - \frac{1}{3} (3 - \frac{2}{3} γ)

.

Was nun von wem genau stammt, entzieht sich ohne Angabe von Originalscans meiner Kenntnis.

Sind noch Fragen offen?

Mfg Michael

Elduardo aktiv_icon

22:00 Uhr, 05.01.2019

Abend:-)

Alles klar, danke Micha du hast mir sehr weitergeholfen!

Viele Grüße Elduardo

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