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Radikand so wählen, dass das Ergebnis minimal wird

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: minimal, radikant, Wurzel, Wurzelfunktion, Wurzelgleichung

MaschbauMichi aktiv_icon

08:17 Uhr, 14.08.2021

Hallo,

die Klausur ist Physik und es geht um Schwingen und Wellen aber dieses Thema hat wohl mehr mit Mathematik zu tun.

Was bedeutet es, wenn ich eine variable eines Wurzelausdrucks so wählen muss, dass das Ergebnis minimal wird?

Und wie mache ich das?

Siehe Screenshot.

Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

N8eule

08:31 Uhr, 14.08.2021

Hallo
Mach dir klar: Je größer das Argument (der Wert) ist, aus dem du die Wurzel ziehst, desto größer wird auch die Wurzel (der ErgebnisWert) sein.
Und je kleiner das Wurzel Argument, desto kleiner die Wurzel.
(Ich gehe dabei davon aus, dass wir von positiven Zahlen sprechen. Sonst ist die Wurzel ja eh nicht definiert.)

Hier genügt es also völlig, das Wurzel-Argument zu minimieren.
Willst du mal anfangen und zeigen...?

Wenn wir weiter beitragen sollten, dann müsstest du auch noch den Formel-Ausdruck eindeutiger klar stellen (der Scan ist abgeschnitten).
Dürfen wir davon ausgehen, dass das heißen wollte(?):

c = \sqrt{(\frac{g}{k} + \frac{σ}{ρ} \cdot k)} \cdot 1

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08:35 Uhr, 14.08.2021

Hallo und danke für die schnelle Antwort.

Ja, es sind werden positive Zahlen sein, aber gefragt ist eine Formel.

Ich versuche mal das Wurzel-Argument zu minimieren.

Ja die Formel ist richtig aber ich habe einen neuen Screenshot hochgeladen.

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08:47 Uhr, 14.08.2021

Also ich habe das Wurzel-Argument auf einen gemeinsamen Nennen erweitert und Null gesetzt:

0 = \frac{ρ \cdot g + σ k^{2}}{k \cdot ρ}

Anschließend nach

k^{2}

aufgelöst:

k^{2} = - (ρ \cdot \frac{g}{σ})

Aber leider scheint es falscht zu sein.

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08:55 Uhr, 14.08.2021

Hab das Minus weggelassen und das System hat es als korrekt aufgenommen.

Das ist nun richtig:

\frac{ρ \cdot g}{σ}

Warum verschindet das Minus?

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08:59 Uhr, 14.08.2021

Summendenweise ableiten:

\to - \frac{g}{k^{2}} + \frac{s}{r} = 0

\frac{g}{k^{2}} = \frac{s}{r}

\frac{k^{2}}{g =} \frac{r}{s}

k^{2} = \frac{r \cdot g}{s}

k = . .

N8eule

09:26 Uhr, 14.08.2021

Um ein mal ein wenig roten Faden in das geschäftige Treiben zu bringen:
Mach dir klar:
Das Wurzel-Argument lautet:

(\frac{g}{k} + \frac{σ}{ρ} \cdot k) \cdot 1 = (\frac{g}{k} + \frac{σ}{ρ} \cdot k)

Geben wir dem doch mal einen Namen. Ich schlage vor: Argument "a".

a = (\frac{g}{k} + \frac{σ}{ρ} \cdot k)

Das ist offensichtlich abhängig von

k

. Also könnte man sich vor Augen führen:

a (k) = \frac{g}{k} + \frac{σ}{ρ} \cdot k

Und jetzt suchst du das Minimum davon.
Wie findet man das Minimum?
Ja klar... ableiten. Die Ableitung ist im Minimum Null.
da/dk

= 0 = - \frac{g}{k^{2}} + \frac{σ}{ρ}

Willst du von hier mal weiter machen?

HAL9000

09:48 Uhr, 14.08.2021

Ohne Differenzieren kann man das Minimum auch mit AMGM (Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel) ermitteln:

\frac{1}{2} (\frac{g}{k} + \frac{σ k}{ρ}) \geq \sqrt{\frac{g}{k} \cdot \frac{σ k}{ρ}} = \sqrt{\frac{σ g}{ρ}}

mit Gleichheit für

\frac{g}{k} = \frac{σ k}{ρ}

, umgestellt

k = \sqrt{\frac{g ρ}{σ}}

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11:45 Uhr, 14.08.2021

Okay verstanden.

Das Minus kommt von der Ableitung nach

k

von

\frac{g}{k}

.

Denn

\frac{g}{k}

ist

g \cdot k^{- 1}

und das nach

k

abgeleitet ist

- 1 \cdot g \cdot k^{- 2}

bzw.

- \frac{g}{k^{2}}

. Und das andere

k

wird einfach zu 1.

Anschließend nach

k^{2}

auflösen. Fertig.

k^{2} = \frac{g \cdot ρ}{σ}

Vielen Dank!

Jetzt bin ich aber neugierig.

Was wenn nach dem

k

für die maximale Phasengeschwindigkeit gefragt wird?

Integrieren?

Danke.

HAL9000

11:49 Uhr, 14.08.2021

> Was wenn nach dem

k

für die maximale Phasengeschwindigkeit gefragt wird?

Es gibt kein Maximum: Für

k \to \infty

wächst der Wurzelausdruck unbeschränkt.

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11:52 Uhr, 14.08.2021

Macht Sinn.
Alles klar. Danke.

HAL9000

12:00 Uhr, 14.08.2021

> ist

k ≫ d

und damit

\tanh (d k) \approx 1

Diese Aussage ist in höchstem Maße fragwürdig:

Nimmt man z.B.

k = 1

und

d = 1 0^{- 9}

, dann ist

k ≫ d

sowie

d k = 1 0^{- 9}

und damit mitnichten

\tanh (d k) \approx 1

.

Kann es sein, dass dort stattdessen

\tanh (\frac{k}{d})

stehen muss? Oder alternativ die Bedingung

k ≫ \frac{1}{d}

? Dann würde das ganze eher Sinn ergeben.

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12:24 Uhr, 14.08.2021

k

ist eigentlich die Wellenzahl mit

k = (2 \cdot \frac{π}{λ})

und so steht da eigentlich

tanh (\frac{d \cdot 2 \cdot π}{λ})

d

steht für die Wassertiefe und

λ

für die Wellenlänge.

Ist die Wassertiefe sehr groß im Vergleich zur Wellenlänge wird der Bruch auch sehr groß und

tanh (x),

wenn

x

sehr groß wird ist

= 1

.

Du hast also recht.

HAL9000

12:28 Uhr, 14.08.2021

> Ist die Wassertiefe sehr groß im Vergleich zur Wellenlänge

Ja, dann hast du das oben verbockt: Wenn

d ≫ λ

vorgegeben ist und

k = \frac{2 π}{λ}

ist, dann bedeutet das RICHTIG übertragen

d ≫ \frac{1}{k}

bzw. gleichbedeutend

k ≫ \frac{1}{d}

MaschbauMichi aktiv_icon

12:30 Uhr, 14.08.2021

Gut möglich. Der Prof hat die Frage so gestellt.

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