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Radius und Zentriwinkel

Schüler Realgymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Kreisbogen, Kreissektor, Radiusberechnung

Delilah92 aktiv_icon

18:28 Uhr, 18.09.2009

Ich komme bei einer Frage einfach nicht weiter und hab keine Idee wie ich diese lösen könnte, bitte helft mir

Die Aufgabe: Ein Kreissektor hat die Fläche vn

12 π

cm². Der dazugehörige Kreisbogen

b

hat eine Länge von

4 π

cm².
Wie ist der Radius

r

und der Zentriwinkel a?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

19:49 Uhr, 18.09.2009

Kennst du die Formeln für Fläche und Umfang?

Schreib sie mal hin.

Delilah92 aktiv_icon

11:51 Uhr, 19.09.2009

Umfank

u = 2 r p

Kreisfläche:

A = r 2 p

Delilah92 aktiv_icon

11:52 Uhr, 19.09.2009

sorry umfang mit

g

;-)

pleindespoir aktiv_icon

13:16 Uhr, 19.09.2009

Gut, das ist doch mal ein Anfang.

jetzt haben wir das Verhältnis

α / 360 °

, welches den Anteil des Kreissegmentes ausdrückt.

Also muss der Umfang damit multipliziert werden, um die Bogenlänge zu erhalten.

B = \frac{α}{360 °} \cdot 2 r π

Bogenlänge ist gegeben.

Gleicherweise ist das mit der Fläche. Probier mal...

Delilah92 aktiv_icon

13:10 Uhr, 20.09.2009

A = π \cdot

r²

nach

r

umstellen??

pleindespoir aktiv_icon

13:19 Uhr, 20.09.2009

Noch nicht - erst das Winkelverhältnis noch:

A = \frac{α}{360 °} \cdot π r^{2}

pleindespoir aktiv_icon

13:21 Uhr, 20.09.2009

Jetzt löst du beide Gleichungen nach

α

auf. Das heisst, beide gleichungen haben die Form:

α = . . . .

dann setzt du die beiden Gleichungen gleich.

Delilah92 aktiv_icon

15:17 Uhr, 20.09.2009

a = A \cdot

360°

\cdot π

r²

und

a = B \cdot 360 \cdot 2 r π

pleindespoir aktiv_icon

16:22 Uhr, 20.09.2009

A = \frac{α}{360 °} \cdot π r^{2}

auflösen nach

α :

A \cdot 360 ° = α \cdot π r^{2}

\frac{A \cdot 360 °}{π r^{2}} = α

Gleichungen richtig umstellen!

mach mal mit B jetzt Du:

Delilah92 aktiv_icon

16:26 Uhr, 20.09.2009

(B \cdot

360°)

/ (2 r π) = a

pleindespoir aktiv_icon

16:27 Uhr, 20.09.2009

perfekt!

jetzt setze die beiden Gleichungen gleich.

Delilah92 aktiv_icon

16:31 Uhr, 20.09.2009

\frac{A}{r}

= \frac{B}{2} r

pleindespoir aktiv_icon

16:32 Uhr, 20.09.2009

\frac{A \cdot 360 °}{π r^{2}} = α

\frac{B \cdot 360 °}{2 r π} = α

\frac{A \cdot 360 °}{π r^{2}} = \frac{B \cdot 360 °}{2 r π}

Delilah92 aktiv_icon

16:33 Uhr, 20.09.2009

ja und dann durch

360

oder etwa nicht?

pleindespoir aktiv_icon

16:33 Uhr, 20.09.2009

Du hast schon gleich gekürzt - gut.

Du kannst aber noch um ein r weiter kürzen

Delilah92 aktiv_icon

16:34 Uhr, 20.09.2009

achso also a²

= \frac{b}{2}

pleindespoir aktiv_icon

16:35 Uhr, 20.09.2009

\frac{A}{r} = \frac{B}{2}

und jetzt so umformen, dass r allein steht

Delilah92 aktiv_icon

16:36 Uhr, 20.09.2009

Gib hier Deine Frage ein. Gib am besten Deine bisherigen Lösungsansätze an. Du kannst

A - \frac{B}{2} = r

pleindespoir aktiv_icon

16:37 Uhr, 20.09.2009

achso also a² =b/2?

nein, das a (Winkel) ist doch durch die Gleichsetzung eliminiert worden!

Es geht doch jetzt ohne Winkel weiter. Du musst umformen, um das r zu gewinnen.

pleindespoir aktiv_icon

16:38 Uhr, 20.09.2009

Wunderbar!

jetzt kannst du die gegebenen Werte für A und B einsetzen und r ausrechnen.

EDIT:
leider ist die Umformung nicht korrekt - siehe weiter unten...

Delilah92 aktiv_icon

16:40 Uhr, 20.09.2009

die gegebenen werte sind