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Rationale Nullstellen

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Tags: Funktion

mathefreund2018 aktiv_icon

10:15 Uhr, 02.02.2019

Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

"Bestimmen Sie alle rationalen Nullstellen der nachfolgenden Polynome p":

(1)

p (x) = x^{4} + 3 x ² - 2 x ² - 2 x + 12

(2)

p (x) = x^{4} - 5 x ³ + 10 x ² + 10 x - 4

Wenn da jetzt

x ³ - x ² - x + a

gestanden hätte, dann wüsste ich wie vorzugehen (1. Polynomdivision und danach 2. p/q-Formel).

Aber wie starte ich, wenn ich x^4 drinnen habe + ein (fehlendes) x³ in (1)?

Vielen Dank

"Mathefreund"2018

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Respon

10:20 Uhr, 02.02.2019

Bist du sicher, dass die erste Angabe richtig ist ?
Es gibt keine reellen Nullstellen.
Vermutlich meinst du

3 \cdot x^{3}

mathefreund2018 aktiv_icon

10:32 Uhr, 02.02.2019

Also ich habe nochmal nachgeschaut, dass steht so in meiner Aufgabensammlung. Die (1) Aufgabe stimmt so - vielleicht soll ja als Lösung herauskommen, dass es keine gibt? Kann ich das rechnerisch beweisen?

Bei (2) hats mit der Technik nicht geklappt. Hier richtig:

(2)

p (x) = x^{4} - \frac{5}{3} x ³ + \frac{10}{9} x ² + \frac{10}{9} - \frac{9}{4}

"Mathefreund"2018

Respon

10:34 Uhr, 02.02.2019

Logisch ist die erste Angabe nicht, man könnte ja sofort reduzieren.
Hättest du

3 \cdot x^{3},

dann hättest du auch "schöne" Nullstellen, nämlich

- 3

und

- 2

.

Auch die zweite Angabe ist aus dem gleichen Grund unlogisch.

mathefreund2018 aktiv_icon

10:41 Uhr, 02.02.2019

was meinst Du mit reduzieren?

"Mathefreund"2018

Respon

10:43 Uhr, 02.02.2019

3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x^{2} = x^{2}

Bummerang

10:43 Uhr, 02.02.2019

Hallo,

"Bei

(2)

hats mit der Technik nicht geklappt. Hier richtig:

(2)

p (x) = x^{4} - \frac{5}{3} \cdot x^{3} + \frac{10}{9} \cdot x^{2} + \frac{10}{9} - \frac{9}{4}

"

Sicher? Also jetzt ohne lineares Glied?

Edit:

Also, wenn ich unterstelle, dass da ein

x

vergessen wurde, gibt es keine rationale Lösung! Aber wenn ich zusätzlich unterstelle, dass die

\frac{9}{4}

am Ende eigentlich

\frac{4}{9}

sind, dann gibt's rationale Nullstellen. Ich denke, dass da noch eine größere Korrektur kommt und bis dahin sollte man einfach mal warten und nicht zu viel Zeit investieren.

Edit 2:

Sieht ganz so aus, als ob der mathefreund2018 kein mathefreund2019 ist oder warum hat er sich jetzt mittendrin verkrümelt?

Joshua2 aktiv_icon

12:32 Uhr, 02.02.2019

x4+3x²-2x²-2x+12 hat keine Nullstellen, x4+3x³-2x²-2x

+ 12

hat die Nullstellen

- 3

und

- 2

>

Aber wie starte ich, wenn ich

x^{4}

drinnen habe

+

ein (fehlendes) x³ in

(1)

?

Das x³ fehlt stört bei der Polynomdivision nicht. Wenn ihr noch Polynomdivision macht, dann kannst du mit

x^{4}

genauso wie mit x³ umgehen. Musst du, falls keine Substitution möglich ist, halt zweimal Polynomdivsion durchführen.

D . h

. zweimal die Nullstellen ausprobieren. Bei x4+3x²-2x²-2x+12 führt ausprobiereen zu nichts, da es keine Nullstellen gibt. Sollt ihr das wirklich mit Polynomdivision machen? Die Aufgaben haben ja meistens eine einfach durch ausprobieren zu ermittelnde Nullstelle, bei

- 1, 0

oder 1. Mit dem GTR geht das natürlich viel einfacher.

mathefreund2018 aktiv_icon

13:01 Uhr, 02.02.2019

@Joshua: Vielen Dank für die Info, sowas habe ich gesucht!

@Boomerang: Ich habe nochmal nachgeschaut. Also die Funktion heißt tatsächlich:

p (x) = x^{4} - \frac{5}{3} x ³ + \frac{10}{9} x ² + \frac{10}{9} x - \frac{4}{9}

Mich interessiert besonders, wie ich der Lösungsweg ist. Joshua hat ja schon gesagt, dass ich dann 2x die Polynomdivision durchführen muss. Aber geht das auch schneller? In der Aufgabenstellung steht ja nur, dass ich die Nullstellen berechnen soll, wie steht da nicht.

Vielen Dank

"Mathefreund"2018

Respon

13:09 Uhr, 02.02.2019

Der einfachste Weg ist der TR, aber das wird ja nicht gemeint sein.
Sinnvolles Raten mithilfe der Satzgruppe von Vieta und Polynomdivision.

. .

. und schon ist er wieder weg.

mathefreund2018 aktiv_icon

13:33 Uhr, 02.02.2019

Na ich wechsel ja immer zwischen Mathebuch und Forum, da darf ich doch auch mal weg sein ;-) Ist ja ein Forum, und kein Chat.

Danke für den Hinweis, ich werde mich mal reinlesen in Vieta!

godzilla12 aktiv_icon

17:49 Uhr, 02.02.2019

Gleich die erste Aufgabe ist verdächtig, weil da zwei Mal "

x

² " vor kommt; die Potenzen müssten doch alle verschieden sein.
Hast du noch nie von Wolfram gehört?
Dann wäre das nämlich nie passiert.
Wenn du Aufgaben postest, die wirklich was taugen, berichte ich dir gerne von dem

\to

Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Der Jahrtausendfake; als Entdecker des SRN wird Gauß gehandelt.
Dabei hat kein Prof, kein Lehrer je vom SRN vernommen

. .

.
Sonst wäre es ja leicht, mir zu antworten

" Dat hat schon de jrooße Jauß jesaht. "
" Entschuldigung Herr Professor; schreibt man Gauß mit

' G'

oder

' J'

? "
" Mit Jee meine Herrn; mit Jee

. .

. "

Intressant, wie die Schüler auf dem Portal " Lycos " reagierten. Nur nicht weiter sagen, dass sie den SRN bei mir gelesen hatten.
Dem Pauker eine lange Nase drehen und die Klassenkameraden über den Tisch ziehen

. .

.
Intressant, dass mich auch kein Studienrat auf Lycos zitierte. Ich kann mir nicht vorstellen, dass die diese Erkenntnisse an ihre Klassen weiter geben.
Wie kann man nur so Muffen Sausen haben vor Direx und Kultusbehörde?
Das aller Letzte war, dass mich User " Ascon " beschimpfte, ich sei ein Troll, weil ich diesen Gauß nicht zitiere - seit dem sehe ich rot.
Der Satz istg noch so neu, dass ihn alle Kopisten falsch abschreiben.
Er hat nämlich nur Sinn für primitive Polynome ( Warum ???

!!!)

( Vgl. mit seinem Zwillingsbruder, dem

\to

Eisensteintest, der authentisch aus dem Jahr

1880

stammt und auf einmal auch für Schüler hoch intressant wird. )
Ginge der SRN tatsächlich auf Gauß zurück, wäre der euch ( hoffentlich geläufige ) kanonische Irrationalitätsbeweis von

\sqrt{2}

längst aus dem Verkehr gezogen.
Die Annahme, es könne eine Bruchzahl geben mit

1 < \sqrt{2} < 2,

ist ungefähr so naiv wie der Versuch zu beweisen, dass die Erde keine Scheibe ist.
Führe diesen Beweis mal über den SRN .
Der Augenblick der Erleuchtung; im japanischen

\to

Zen Buddhismus heißt er

\to

Satori .
Dem User " Medicopter " auf Mathelounge gelang es, den SRN bis

1950

zurück zu verfolgen; gleich wohl ist unwidersprochen, dass weder

\to

Emil Artin noch

\to v . d

. Waerden einen SRN kennen; beide Urgestein auf dem Gebiete der Algebra.
Verdächtig wirkt ferner, dass kein skript je den Versuch unternahm, gebrochene Nullstellen in Polynome einzusetzen.
Wenn man bedenkt, dass ich erst

2011

vom SRN erfuhr.
Dann muss ich ein ganz toller Hecht sein, weil mir noch in der selben Woche die Entdeckung zweier nicht trivialer Korollare gelang ( von denen Wiki selbst redend nichts weiß. )

Fariko aktiv_icon

18:27 Uhr, 02.02.2019

Da kann ich Respon zustimmen.

godzilla12 aktiv_icon

20:41 Uhr, 02.02.2019

Auch auf Respom und Farico habe ich noch eine Antwort; niemand führt eine Polynomdivision mit Gleitkommazahlen durch. A Propos Vieta; da kommen meine erste und zweite Alfonsinische pq_Formel ( AF1;2 ) gerade recht.
Der Name hat sich längst durchgesetzt; Pate stand König Alfons

\frac{3}{4}

XII von Lummerland. Ich fand die Namensgebung ganz spaßig; ich habe einen Kronzeugen, dass Michael Ende den Jim Knopf für mich alleine verfasst hat.
Ich bekam schon das Kompliment, meine AF1;2 seien die besten verfügbaren Formeln. wo wollen wir hin?

f (x) = : (x - x_{3}) (x - x_{4}) g (x) (1)

x_{3; 4}

beziehe ich beispielsweise aus Wolfram; gesucht:

p

und

q

g (x) = : x

- p x + q (2)

x_{3} = (- . 9252); x_{4} = . 3153 (3)

Die beiden AF bilden ein LGS zur Bestimmung von

p

und

q :

a_{3} = - (p + x_{3} + x_{4}) = (- 5) \to p = 5.61;

AF1

(4 a)

a_{0} = q x_{3} x_{4} = (- 4) \to q = 13.71;

AF2

(4 b)

Hier ihr habt doch schon schwerere LGS gelöst.

godzilla12 aktiv_icon

20:44 Uhr, 02.02.2019

x

- 5.61 p + 13.71 = 0

ermanus aktiv_icon

22:24 Uhr, 02.02.2019

Hallo,
da ich ein "Nennerhasser" bin, würde ich bei (2) so vorgehen:
Multiplikation der Gleichung mit

3^{4} = 81

ergibt die äquivalente Gleichung

3^{4} \cdot x^{4} - 5 \cdot 3^{3} \cdot x^{3} + 10 \cdot 3^{2} \cdot x^{2} + 30 \cdot 3 \cdot x - 36 = 0 (1)

.

Wir setzen

z = 3 x

. Dann geht die Gleichung über in

p (z) = z^{4} - 5 z^{3} + 10 z^{2} + 30 z - 36 = 0 (2)

.

Wir raten eine (hoffentlich) ganzzahlige Nullstelle und finden z.B.

z_{1} = 1

.

Polynomdivision von

p (z)

durch

(z - z_{1}) = (z - 1)

liefert

q (z) = p (z) / (z - 1) = z^{3} - 4 z^{2} + 6 z + 36 (3)

.

Wir finden durch Raten

z_{2} = - 2

als Nullstelle von

q (z)

und erhalten

per Polynomdivision

r (z) = q (z) / (z + 2) = z^{2} - 6 z + 18 = 0 (4)

.

Die

p q

-Formel liefert

z_{3, 4} = 3 \pm 3 i

...

Zum Schluss resubstituiert man ...

Gruß ermanus

godzilla12 aktiv_icon

15:51 Uhr, 03.02.2019

Ermanus sein Beispiel gefällt mir. Weil es gibt mir Gelegenheit, euch zu erläutern, wie es dazu kam, dass ich das entdeckte, was ich entdeckte.
Entgegen wütenden Protesten, die ich diesbezüglich zu erdulden hatte, beharre ich darauf, dass der SRN nur Sinn hat für primitive Polynome. Wir wollen verabreden:
Die Koeffizienten der primitiven Form ( PF ) werden mit

b_{i}

notiert.

f (x) := b_{4} x^{4} + b_{3} x

+ b_{2} x

+ b_{1} x + b_{0} (1 a)

b_{4} = 9; b_{3} = (- 15); b_{2; 1} = 10; b_{0} = (- 4) (1 b)

Mit dem SRN ist sofort klar: Neben den ( trivialen ) Ganzen kommen nur noch Drittel und Neuntel in Frage. In Kenntnis des SRN ist es auf einmal gar nicht mehr unvernünftig zu raten

x_{1} = \frac{1}{3}

.
Auch hier hat das Internet wieder mal die Nase vorn; kann ich jene Erkenntnis voraus setzen, dass Polynomdivision durch Linearfaktor ( PDLF ) äquivalent Onkel Horner? Die Anhänger dieses rationellen Verfahrens machen zu Recht geltend, dass du ja, um die Nullstelle nachzuweisen, eh das Hornerschema durchlaufen musst - warum also doppelt moppeln?
Hier wer von euch hat schon mal programmiert? Guter Programmierstil ist es, den Arbeitsvektor an das rufende Programm zurück zun geben; im Gegensatz zu herkömmlicher PDLF hältst du sämtliche Zwischenergebnisse auf einem Schmierzettel fest. Ich verabrede noch die Notation; rein schematisch läuft doch das rostige Getriebe der PD ab

f (x) : (x - x_{1}) = : g (x)

Rest

f (x_{1}) (2)

mit dem ( kubischen ) Faktorpolynom

g (x)

. Onkel Horner ist doch weiter nichts als eine ( endliche ) Folge

p_{n} (f; x_{1}); n = 4, . .

, 0 (3 a)

p_{0} (f; x_{1}) = f (x_{1}) (3 b)

Die Koeffizienten des Polynoms (g)

i n (2)

wollen wir

a_{i} (g)

nennen. Dann lautet der Zusammenhang zwischen

(2)

und

(3 a),

zwischen PDLF und Horner

p_{4; 3; 2; 1} (f; x_{1}) = a_{3; 2; 1; 0} (g) (4)

Und jetzt kommt ins Spiel, was ich euch schon oben sagte. Vor mir hat noch niemand Bruchzahlen in ein Polynom eingesetzt. Und da entdeckte ich ( zunächst rein empirisch ) eines meiner beiden Korollare.
Es stellt sogar eine direkte Verallgemeinerung der Teilbarkeitsaussage des SRN dar und lautet:

" Die Hornerfolge jeder rationalen Nullstelle ist ganzzahlig. "

Zum ersten Mal sind die Schüler gleichberechtigt, die in Bruchrechnung nicht aufgepasst haben

. .

.
So bald wir auf einen Koeffizienten brettern, der nicht durch 3 teilbar ist, BRECHEN WIR AB .

p_{4} (f) = b_{4} (f) = 9 = a_{3} (g); 3 | a_{3} (5 a)

p_{3} (f; x_{1}) = p_{4} x_{1} + b_{3} (f) = 9 \cdot \frac{1}{3} - 15 = (- 12) = a_{2} (g); 3 | a_{2} (5 b)

p_{2} (f; x_{1}) = p_{3} x_{1} + b_{2} (f) = - 12 \cdot \frac{1}{3} + 10 = 6 = a_{1} (g); 3 | a_{1} (5 c)

p_{1} (f; x_{1}) = p_{2} x_{1} + b_{1} (f) = 6 \cdot \frac{1}{3} + 10 = 12 = a_{0} (g); 3 | a_{0} (5 d)

p_{0} (f; x_{1}) = p_{1} x_{1} + b_{0} (f) = 12 \cdot \frac{1}{3} - 4 = 0 = f (x_{1}) (5 e)

Wegen meinem Korollar ist die Darstellung von

g

sicher nicht primitiv; seine PF müsste lauten

g (x) = b_{3} x

+ b_{2} x

+ b_{1} x + b_{0} (6 a)

b_{3} = 3; b_{2} = (- 4); b_{1} = 2; b_{0} = 4 (6 b)

Kollege Ingo Lischka brüllte mich ja konstant an

" Hier Dottore; sag mir sofort das Datum. Wenn du dich weigerst, seh ich im System nach

. .

. "

aktion Ermanus Lischka

" Hier Ermanus; sag mir sofort eine Nullstelle von (6ab) Sonst seh ich bei wolfram nach

. .

. "

Hier kommt als Bruchzahl nur noch Drittel in Betracht; sagen wir

x_{2} = (- \frac{2}{3})

Analog

(5 a - e)

wirst du geführt auf die quadratische Gleichung

x

- p x + q = 0 (7 a)

p = q = 2 (7 b)

Das lösen wir am Schnellsten mittels Vieta dem " geschmähten Stiefkind "

p = 2

(z_{0}) = 2 \to

(z_{0}) = 1 (8 a)

q = | z_{0} |

= 2 \to | z_{0} | = \sqrt{2} (8 b)

und aus dem Pythagoras die ganze

\to

Gaußsche Zahl

z_{0}; z_{0}^{⋆} = 1 \pm i (8 c)

1457970

1457840

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