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Rationalmachen (Wurzelfreimachen) des Nenners

Schüler

Tags: bruchrechnen, Wurzel

mufc88 aktiv_icon

12:42 Uhr, 21.03.2012

Hallo Leute,

ich habe hier im Buch folgende Aufgabe:

Erweitern Sie die Brüche so, dass die Nenner rational werden, und verinfach Sie: $\frac{1}{\sqrt[5]{4}}$

Mein bisheriger Fortschritt:

= $\frac{\sqrt[5]{4}}{4}$ aber ab da steh ich an.

Lösung: $\frac{\sqrt[5]{8}}{2}$

Könnte mir BITTE jemand die genauen Schritte erklären, sodass ich zu diesem Ergebnis gelange?

DANKE

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

CKims aktiv_icon

12:52 Uhr, 21.03.2012

ausführlich

\frac{1}{\sqrt[5]{4}} = \frac{1}{\sqrt[5]{4}} \cdot \frac{\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4}} = \frac{\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4} \sqrt[5]{4}} = \frac{{(\sqrt[5]{4})}^{4}}{{(\sqrt[5]{4})}^{5}} = \frac{\sqrt[5]{4^{4}}}{4}

= \frac{\sqrt[5]{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}}{4} = \frac{\sqrt[5]{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4}}{4} = \frac{\sqrt[5]{2^{5} \cdot 2 \cdot 4}}{4} = \frac{\sqrt[5]{2^{5}} \sqrt[5]{2 \cdot 4}}{4} = \frac{2 \sqrt[5]{8}}{4} = \frac{\sqrt[5]{8}}{2}

wenn du die potenzgesetze übst, gehts auch schneller... aber ausführlich ist immer gut am anfang fuers verstaendnis...

lg

Rasaphar aktiv_icon

12:52 Uhr, 21.03.2012

Bitte aufpassen:

Wenn du den Bruch mit

\sqrt[5]{4}

erweiterst, steht in deinem Nenner NICHT 4.

\sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{4} = 4^{\frac{1}{5}} \cdot 4^{\frac{1}{5}} = 4^{\frac{2}{5}}

Ich hoffe, diese Überlegung reicht dir.

MfG und viel Erfolg ;-)

[

EDIT]: Oder jemand schreibt die Lösung, so gehts auch ;-)

mufc88 aktiv_icon

13:52 Uhr, 21.03.2012

so ganz versteh ich das jetzt nicht :(

wieso sind bei moklok so viele 2er? ^^

Underfaker aktiv_icon

14:00 Uhr, 21.03.2012

Du hast die 5. Wurzel gegeben um das zu vereinfachen versucht man 5 Faktoren innerhalb der Wurzel zu finden die gleich sind. aus den ersten 3 der vier vierer (zweite Zeile) hat er sechs 2er gemacht und da stecken eben fünf 2er drin, das ist

2^{5}

und

2^{5}

zusammen mit der fünften Wurzel kürzt sich zu

2

in der Wurzel bleibt dann eben noch eine zwei und eine

4 = 8

übrig.

Er hat also aus der ganzen Wurzel im Zähler eine 2 rausgezogen und dann mit dem Nenner gekürzt und so dein Ergebnis erhalten.

ps: Diese

2^{5}

dort rausziehen gilt wegen:

\sqrt[c]{a \cdot b} = \sqrt[c]{a} \cdot \sqrt[c]{b}

mufc88 aktiv_icon

14:08 Uhr, 21.03.2012

die erste zeile verstehe ich, allerdings werde ich aus der zweiten nicht sonderlich schlau...

€: ok jetzt raff ichs, zwar noch nicht ganz, aber immerhin ^^

wie würde das dann aussehen, wenn man es schnell rechnet, sprich nicht alles splittet?

Underfaker aktiv_icon

14:13 Uhr, 21.03.2012

Nehmen wir nur mal den Zähler:

in der Wurzel steht

4^{4}

das ist ja

4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4

und

4 = 2 \cdot 2

Also ist

4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

Jetzt haben wir hier fünf Faktoren gefunden die gleich sind nämlich fünf Zweier, aus eriner fünften Wurzel kann man nämlich zum Vereinfachen gut fünf gleiche Faktoren rauskürzen.

Man fast

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

zusammen zu

2^{5} \cdot 2 \cdot 4

und jetzt kann man die

2^{5}

aus der Wurzel ziehen, wie bei Moklok zu sehen (man hat dann zwei Wurzeln). Und fünfte Wurzel aus

2^{5}

ist eben

2,

die Wurzel der Wurzel und die 5 des Exponenten von der zwei kürzen sich weg, dann hast du im Zähler

2 \cdot

die zweite Wurzel und die zwei kürzt sich mit der 4 im Zähler weg.

Mehr kann ich dazu nicht erklären, sorry.

mufc88 aktiv_icon

14:20 Uhr, 21.03.2012

ok, ich verstehe es jetzt, danke für die ausführliche erklärung!

wobei ich mich wunder, wie ihr das alles so schnell erkennt :D

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